Probabilidad y Estadística 2025 Canarias
Teorema de Bayes y Probabilidad Total en Diagnóstico Médico
Bloque 4.- Probabilidad (seleccione solo una pregunta)
4A. Se está desarrollando una prueba para detectar una enfermedad rara que afecta al 1% de la población adulta. Se sabe que, la sensibilidad de la prueba (dar positivo cuando la persona está enferma) es del 95%, y la especificidad de la prueba (dar negativo cuando la persona está sana) es del 98%. Se selecciona al azar un individuo de la población:
1.5 a) Si se somete a la prueba de diagnóstico, calcular la probabilidad de que esté realmente enfermo cuando la prueba da positivo.
1 b) Si una población de 35000 individuos se somete a la prueba, ¿podríamos afirmar que se espera que habrá más de 50 personas que estarán enfermas, aún cuando han obtenido un resultado negativo en el test?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos básicos y extraemos la información del enunciado:
* $E$: El individuo está **enfermo**. Según el enunciado, $P(E) = 0.01$.
* $S$: El individuo está **sano** (suceso contrario a $E$). Por tanto, $P(S) = 1 - 0.01 = 0.99$.
* $+$: El test da resultado **positivo**.
* $-$: El test da resultado **negativo**.
Datos de la prueba diagnóstica:
* **Sensibilidad**: Probabilidad de dar positivo estando enfermo. $P(+|E) = 0.95$. De aquí deducimos que $P(-|E) = 1 - 0.95 = 0.05$ (falsos negativos).
* **Especificidad**: Probabilidad de dar negativo estando sano. $P(-|S) = 0.98$. De aquí deducimos que $P(+|S) = 1 - 0.98 = 0.02$ (falsos positivos).
Organizamos esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Calcular la probabilidad de estar enfermo dado un positivo
**1.5 a) Si se somete a la prueba de diagnóstico, calcular la probabilidad de que esté realmente enfermo cuando la prueba da positivo.**
Nos piden calcular una probabilidad a posteriori, es decir, $P(E|+)$. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**.
Primero, calculamos la probabilidad total de que el test dé positivo, $P(+)$, que ocurre en dos ramas del árbol:
$$P(+) = P(E \cap +) + P(S \cap +)$$
$$P(+) = P(E) \cdot P(+|E) + P(S) \cdot P(+|S)$$
$$P(+) = 0.01 \cdot 0.95 + 0.99 \cdot 0.02$$
$$P(+) = 0.0095 + 0.0198 = 0.0293$$
Ahora, aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(E|+) = \frac{P(E) \cdot P(+|E)}{P(+)}$$
$$P(E|+) = \frac{0.0095}{0.0293} \approx 0.3242$$
💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Bayes relaciona la probabilidad de una causa (estar enfermo) dado un efecto observado (test positivo).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|+) \approx 0.3242 \text{ (un 32.42%)}}$$
Paso 3
Esperanza de personas enfermas con test negativo
**1 b) Si una población de 35000 individuos se somete a la prueba, ¿podríamos afirmar que se espera que habrá más de 50 personas que estarán enfermas, aún cuando han obtenido un resultado negativo en el test?**
Debemos calcular el número esperado de personas que cumplen dos condiciones simultáneamente: estar enfermas ($E$) y haber dado negativo ($-$).
Primero calculamos la probabilidad de este suceso conjunto:
$$P(E \cap -) = P(E) \cdot P(-|E)$$
$$P(E \cap -) = 0.01 \cdot 0.05 = 0.0005$$
Ahora, para una población de $N = 35000$ individuos, el número esperado (esperanza matemática) se calcula multiplicando el tamaño de la población por la probabilidad del suceso:
$$E[X] = N \cdot P(E \cap -)$$
$$E[X] = 35000 \cdot 0.0005 = 17.5$$
Como $17.5 \lt 50$, **no** podemos afirmar que se espera que haya más de 50 personas enfermas con resultado negativo.
💡 **Tip:** El valor esperado en una distribución de este tipo se calcula simplemente como $n \cdot p$, donde $p$ es la probabilidad de que un individuo cumpla la condición.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{No, se esperan 17.5 personas, que es menor que 50}}$$