Intersección entre recta y plano, recta perpendicular y ángulo

**1.5 a) Comprobar que el plano $\pi$ y la recta $r$ se cortan. Dar la ecuación de la recta $s$, contenida en el plano $\pi$, que corta perpendicularmente a $r$.** Primero extraemos los elementos característicos. El plano $\pi: x - y + 2z - 5 = 0$ tiene como vector normal: $$\vec{n_\pi} = (1, -1, 2)$$ La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{d_r}$ es el producto vectorial de los normales de dichos planos: $$\vec{d_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{d_r} = \mathbf{i}(1 \cdot 1) + \mathbf{j}(1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1)) - [\mathbf{k}(1 \cdot 2) + \mathbf{i}(1 \cdot (-1)) + \mathbf{j}(1 \cdot 1)]$$ $$\vec{d_r} = (1, 2, -1) - (2, -1, 1) = (1-2, 2-(-1), -1-1) = (-1, 3, -3)$$ Revisando el cálculo: $$\vec{d_r} = (1 - (-1))\mathbf{i} - (1 - 2)\mathbf{j} + (-1 - 2)\mathbf{k} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 3\mathbf{k}$$ $$\vec{d_r} = (2, 1, -3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Para comprobar que se cortan, verificamos que la recta no es paralela al plano. Esto ocurre si el producto escalar de $\vec{d_r}$ y $\vec{n_\pi}$ es distinto de cero: $$\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} = (2, 1, -3) \cdot (1, -1, 2) = 2(1) + 1(-1) + (-3)(2) = 2 - 1 - 6 = -5$$ Como $\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} \neq 0$, la recta y el plano no son paralelos ni la recta está contenida en el plano. Por tanto, **la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto**. ✅ **Resultado (Comprobación):** $$\boxed{\text{Se cortan en un punto pues } \vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} = -5 \neq 0}$$

Para encontrar la recta $s$ que está en el plano y corta a $r$, necesitamos el punto de intersección $Q = r \cap \pi$. Expresamos $r$ en paramétricas. Primero buscamos un punto $P_r$. Si hacemos $z=0$ en $r$: $$\begin{cases} x + y = 0 \\ 2x - y = 10 \end{cases} \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3}, y = -\frac{10}{3}$$ Sin embargo, es más sencillo resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas formado por $r$ y $\pi$: 1) $x + y + z = 0$ 2) $2x - y + z = 10$ 3) $x - y + 2z = 5$ De (1), $y = -x - z$. Sustituimos en (2) y (3): $2x - (-x - z) + z = 10 \implies 3x + 2z = 10$ $x - (-x - z) + 2z = 5 \implies 2x + 3z = 5$ Resolvemos este sistema 2x2: Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por -2: $9x + 6z = 30$ $-4x - 6z = -10$ Suma: $5x = 20 \implies x = 4$. Sustituyendo $x=4$ en $2x + 3z = 5$: $8 + 3z = 5 \implies 3z = -3 \implies z = -1$. Calculamos $y$: $y = -4 - (-1) = -3$. El punto de intersección es $Q(4, -3, -1)$. $$\boxed{Q = (4, -3, -1)}$$

La recta $s$ cumple dos condiciones: 1. Está contenida en $\pi$, por lo que su vector director $\vec{d_s}$ es perpendicular al normal del plano: $\vec{d_s} \perp \vec{n_\pi}$. 2. Corta perpendicularmente a $r$, por lo que $\vec{d_s} \perp \vec{d_r}$. Por tanto, $\vec{d_s}$ es proporcional al producto vectorial de $\vec{d_r}$ y $\vec{n_\pi}$: $$\vec{d_s} = \vec{d_r} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_s} = \mathbf{i}(1\cdot 2 - (-1)(-3)) - \mathbf{j}(2\cdot 2 - 1(-3)) + \mathbf{k}(2(-1) - 1\cdot 1)$$ $$\vec{d_s} = (2 - 3)\mathbf{i} - (4 + 3)\mathbf{j} + (-2 - 1)\mathbf{k} = (-1, -7, -3)$$ Podemos usar $\vec{d_s} = (1, 7, 3)$ para evitar signos negativos. 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a otras dos direcciones conocidas, su dirección se halla mediante el producto vectorial.

La recta $s$ pasa por $Q(4, -3, -1)$ y tiene dirección $\vec{d_s} = (1, 7, 3)$. Su ecuación continua es: $$\boxed{s: \frac{x-4}{1} = \frac{y+3}{7} = \frac{z+1}{3}}$$

**1 b) Hallar el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$.** El ángulo $\alpha$ entre una recta con vector director $\vec{d}$ y un plano con vector normal $\vec{n}$ se calcula mediante la fórmula: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi}|}{|\vec{d_r}| \cdot |\vec{n_\pi}|}$$ Ya conocemos: - $\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} = -5$ - $|\vec{d_r}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$ - $|\vec{n_\pi}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ Sustituyendo: $$\sin \alpha = \frac{|-5|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{84}}$$ Simplificando $\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$: $$\sin \alpha = \frac{5}{2\sqrt{21}}$$ Calculamos el ángulo: $$\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{84}}\right) \approx \arcsin(0.5455) \approx 33.06^\circ$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el ángulo entre recta y plano usamos el **seno**, mientras que para recta-recta o plano-plano usamos el coseno. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{84}}\right) \text{ rad} \approx 33.06^\circ}$$