Resolución de un sistema de ecuaciones matriciales

**2.5 2B. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:** $$\begin{cases} 4X - 5Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -9 & -4 & -6 \\ 17 & 3 & 13 \end{pmatrix} \\ 6X + 4Y = \begin{pmatrix} 10 & 4 & -10 \\ 12 & 10 & 22 \end{pmatrix} \end{cases}$$ En primer lugar, simplificamos la primera ecuación calculando la matriz inversa. Llamemos $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Calculamos su determinante: $$|A| = (1 \cdot 2) - (-1 \cdot -1) = 2 - 1 = 1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos y la trasponemos: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \implies Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ La matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Ahora realizamos el producto de la inversa obtenida por la matriz de términos independientes de la primera ecuación: $$D = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9 & -4 & -6 \\ 17 & 3 & 13 \end{pmatrix}$$ Operamos fila por columna: - $d_{11} = 2(-9) + 1(17) = -18 + 17 = -1$ - $d_{12} = 2(-4) + 1(3) = -8 + 3 = -5$ - $d_{13} = 2(-6) + 1(13) = -12 + 13 = 1$ - $d_{21} = 1(-9) + 1(17) = -9 + 17 = 8$ - $d_{22} = 1(-4) + 1(3) = -4 + 3 = -1$ - $d_{23} = 1(-6) + 1(13) = -6 + 13 = 7$ Por tanto, el sistema se reduce a: $$\begin{cases} (1) \quad 4X - 5Y = \begin{pmatrix} -1 & -5 & 1 \\ 8 & -1 & 7 \end{pmatrix} \\ (2) \quad 6X + 4Y = \begin{pmatrix} 10 & 4 & -10 \\ 12 & 10 & 22 \end{pmatrix} \end{cases}$$ $$\boxed{D = \begin{pmatrix} -1 & -5 & 1 \\ 8 & -1 & 7 \end{pmatrix}}$$

Utilizamos el método de reducción para eliminar la incógnita $Y$. Multiplicamos la ecuación $(1)$ por $4$ y la ecuación $(2)$ por $5$: $$(1) \cdot 4 \implies 16X - 20Y = \begin{pmatrix} -4 & -20 & 4 \\ 32 & -4 & 28 \end{pmatrix}$$ $$(2) \cdot 5 \implies 30X + 20Y = \begin{pmatrix} 50 & 20 & -50 \\ 60 & 50 & 110 \end{pmatrix}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$46X = \begin{pmatrix} -4+50 & -20+20 & 4-50 \\ 32+60 & -4+50 & 28+110 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 46 & 0 & -46 \\ 92 & 46 & 138 \end{pmatrix}$$ Despejamos $X$ dividiendo cada elemento por $46$: $$X = \frac{1}{46} \begin{pmatrix} 46 & 0 & -46 \\ 92 & 46 & 138 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para X:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos la matriz $X$ en la ecuación $(2)$ para despejar $Y$: $$6X + 4Y = C \implies 4Y = C - 6X$$ Calculamos $6X$: $$6X = 6 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & -6 \\ 12 & 6 & 18 \end{pmatrix}$$ Calculamos $4Y$: $$4Y = \begin{pmatrix} 10 & 4 & -10 \\ 12 & 10 & 22 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 0 & -6 \\ 12 & 6 & 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 & -4 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, despejamos $Y$ dividiendo entre $4$: $$Y = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 4 & -4 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para Y:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$