Álgebra 2025 Canarias
Mezcla de materias primas para pienso de peces
Bloque 2.- Álgebra (seleccione solo una pregunta)
2.5 2A. En la fabricación de piensos para peces en granjas acuícolas, es necesario equilibrar la cantidad de proteína, grasa y carbohidratos. Una empresa dedicada a los piensos para peces utiliza tres tipos principales de materias primas, las cuales proporcionan diferentes cantidades de proteína, grasa y carbohidratos. Las materias primas son: subproductos vegetales que contienen un 20% de proteína, un 10% de grasa y un 10% de carbohidratos; harinas que aportan un 40% de proteínas, un 20% de grasa y un 30% de carbohidratos; y subproductos cárnicos que aportan un 60%, 10% y 30% respectivamente.
Esta empresa productora está preparando 1000 kg de pienso que han de contener un 36% de proteína, un 12% de grasa y un 20% de carbohidratos. ¿Qué cantidad de cada materia prima se ha de utilizar para obtener el pienso con las características indicadas?
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades de cada materia prima en kilogramos:
- $x$: kilogramos de subproductos vegetales.
- $y$: kilogramos de harinas.
- $z$: kilogramos de subproductos cárnicos.
A partir del enunciado, establecemos las ecuaciones basadas en el peso total y el aporte de cada nutriente. El total de pienso es de $1000$ kg:
$$x + y + z = 1000$$
Calculamos las cantidades totales de cada nutriente requeridas en la mezcla final:
- Proteína: $36\%$ de $1000 = 0,36 \cdot 1000 = 360$ kg.
- Grasa: $12\%$ de $1000 = 0,12 \cdot 1000 = 120$ kg.
- Carbohidratos: $20\%$ de $1000 = 0,20 \cdot 1000 = 200$ kg.
💡 **Tip:** Es fundamental definir claramente las unidades (kg en este caso) y traducir los porcentajes a números decimales para operar con facilidad.
Paso 2
Establecimiento de las ecuaciones de nutrientes
Planteamos las ecuaciones según el porcentaje de aporte de cada materia prima:
1. **Proteína:** $0,20x + 0,40y + 0,60z = 360$
2. **Grasa:** $0,10x + 0,20y + 0,10z = 120$
3. **Carbohidratos:** $0,10x + 0,30y + 0,30z = 200$
Para facilitar el cálculo, multiplicamos estas ecuaciones por $10$ (o el factor necesario) para eliminar decimales:
- $2x + 4y + 6z = 3600 \implies x + 2y + 3z = 1800$
- $x + 2y + z = 1200$
- $x + 3y + 3z = 2000$
💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones dividiendo por factores comunes (como el $2$ en la primera) reduce la posibilidad de errores aritméticos posteriores.
Paso 3
Resolución del sistema de ecuaciones
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$\begin{cases}
x + y + z = 1000 & \text{(I)}\\
x + 2y + 3z = 1800 & \text{(II)}\\
x + 2y + z = 1200 & \text{(III)}\\
x + 3y + 3z = 2000 & \text{(IV)}
\end{cases}$$
Podemos resolver utilizando el método de reducción. Restamos la ecuación (III) a la (II):
$$(x + 2y + 3z) - (x + 2y + z) = 1800 - 1200$$
$$2z = 600 \implies \mathbf{z = 300}$$
Ahora sustituimos $z = 300$ en las ecuaciones (I) y (IV):
- De (I): $x + y + 300 = 1000 \implies x + y = 700$
- De (IV): $x + 3y + 3(300) = 2000 \implies x + 3y = 1100$
Restamos estas dos nuevas ecuaciones:
$$(x + 3y) - (x + y) = 1100 - 700$$
$$2y = 400 \implies \mathbf{y = 200}$$
Finalmente, calculamos $x$ usando $x + y = 700$:
$$x + 200 = 700 \implies \mathbf{x = 500}$$
💡 **Tip:** En sistemas con más ecuaciones que incógnitas, es conveniente elegir las más sencillas para resolver y luego verificar el resultado en las sobrantes para asegurar la compatibilidad.
Paso 4
Verificación y resultado final
Comprobamos que los valores obtenidos cumplen todas las condiciones originales:
- Peso total: $500 + 200 + 300 = 1000$ kg (Correcto).
- Proteína: $0,2(500) + 0,4(200) + 0,6(300) = 100 + 80 + 180 = 360$ kg (Correcto).
- Grasa: $0,1(500) + 0,2(200) + 0,1(300) = 50 + 40 + 30 = 120$ kg (Correcto).
- Carbohidratos: $0,1(500) + 0,3(200) + 0,3(300) = 50 + 60 + 90 = 200$ kg (Correcto).
Las cantidades a utilizar son:
- Subproductos vegetales: **500 kg**
- Harinas: **200 kg**
- Subproductos cárnicos: **300 kg**
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\begin{matrix} \text{Vegetales: } 500 \text{ kg} \\ \text{Harinas: } 200 \text{ kg} \\ \text{Cárnicos: } 300 \text{ kg} \end{matrix}}$$