Análisis 2025 Canarias
El modelo logístico de la colonia de hormigas
El modelo logístico es un modelo matemático utilizado para describir la evolución de una población a lo largo del tiempo, cuando los recursos son limitados. Es uno de los modelos matemáticos más comunes en biología y describe cómo la población se estabiliza cuando alcanza la capacidad de carga del entorno, esto es, el tamaño máximo que puede alcanzar una población antes de que los recursos se vuelvan insuficientes, lo que genera competencia y, en muchos casos, una desaceleración de la tasa de crecimiento o una crisis en la población.
Un ejemplo de modelo logístico lo encontramos en las colonias de hormigas, que están compuestas por una red de túneles, entradas, cámaras de cría y áreas de almacenamiento, donde las hormigas establecen su hábitat.
Un grupo de investigadores ha estudiado el momento en el que unas hormigas forman una nueva colonia y ha modelizado el número de hormigas ($H(t)$) después de $t$ meses con la función:
$$H(t) = \frac{6400}{1 + 159 e^{-0.5t}}$$
0.25 a) ¿Cuántas hormigas formaron la nueva colonia inicialmente?
0.75 b) ¿Cuál es la tasa media de crecimiento el primer año? ¿Y el segundo año? Interpretar el resultado.
0.75 c) Un observador afirma que el modelo siempre es creciente y entiende que la población de hormigas crece sin control. Justificar matemáticamente si esta afirmación es o no correcta.
0.75 d) ¿En qué momento la colonia de hormigas alcanzará la mitad de su capacidad de carga?
Paso 1
Cálculo de la población inicial
**0.25 a) ¿Cuántas hormigas formaron la nueva colonia inicialmente?**
El momento inicial corresponde al tiempo $t=0$. Para hallar el número inicial de hormigas, sustituimos este valor en la función $H(t)$:
$$H(0) = \frac{6400}{1 + 159 e^{-0.5 \cdot 0}} = \frac{6400}{1 + 159 e^0}$$
Como cualquier número elevado a cero es 1 ($e^0 = 1$):
$$H(0) = \frac{6400}{1 + 159 \cdot 1} = \frac{6400}{160}$$
Dividiendo:
$$H(0) = 40 \text{ hormigas}$$
💡 **Tip:** En problemas de evolución temporal, la palabra "inicialmente" siempre implica evaluar la función en $t=0$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{40 \text{ hormigas}}$$
Paso 2
Tasa media de crecimiento (Primer año)
**0.75 b) ¿Cuál es la tasa media de crecimiento el primer año? ¿Y el segundo año? Interpretar el resultado.**
La Tasa Media de Crecimiento (TMC) en un intervalo $[a, b]$ se define como la variación de la función dividida por el tiempo transcurrido:
$$TMC[a, b] = \frac{H(b) - H(a)}{b - a}$$
Dado que $t$ se mide en meses, el **primer año** comprende el intervalo $[0, 12]$.
1. Calculamos $H(12)$:
$$H(12) = \frac{6400}{1 + 159 e^{-0.5 \cdot 12}} = \frac{6400}{1 + 159 e^{-6}} \approx \frac{6400}{1 + 159 \cdot 0.002479} \approx \frac{6400}{1.3941} \approx 4590.77$$
2. Aplicamos la fórmula de la TMC:
$$TMC[0, 12] = \frac{H(12) - H(0)}{12 - 0} = \frac{4590.77 - 40}{12} = \frac{4550.77}{12} \approx 379.23 \text{ hormigas/mes}$$
✅ **Resultado (Primer año):**
$$\boxed{379.23 \text{ hormigas/mes}}$$
Paso 3
Tasa media de crecimiento (Segundo año) e interpretación
Para el **segundo año**, el intervalo de tiempo es $[12, 24]$.
1. Calculamos $H(24)$:
$$H(24) = \frac{6400}{1 + 159 e^{-0.5 \cdot 24}} = \frac{6400}{1 + 159 e^{-12}} \approx \frac{6400}{1 + 159 \cdot 0.00000614} \approx \frac{6400}{1.000976} \approx 6393.76$$
2. Aplicamos la fórmula de la TMC:
$$TMC[12, 24] = \frac{H(24) - H(12)}{24 - 12} = \frac{6393.76 - 4590.77}{12} = \frac{1802.99}{12} \approx 150.25 \text{ hormigas/mes}$$
**Interpretación:**
Observamos que la tasa de crecimiento es mucho menor en el segundo año ($150.25$) que en el primero ($379.23$). Esto indica que el crecimiento de la colonia se está **desacelerando** a medida que la población se acerca a su límite de capacidad, lo cual es característico de los modelos logísticos.
✅ **Resultado (Segundo año):**
$$\boxed{150.25 \text{ hormigas/mes}}$$
Paso 4
Estudio del crecimiento y control de la población
**0.75 c) Un observador afirma que el modelo siempre es creciente y entiende que la población de hormigas crece sin control. Justificar matemáticamente si esta afirmación es o no correcta.**
Analizaremos dos partes: si es siempre creciente (monotonía) y si el crecimiento es descontrolado (límite).
1. **Monotonía:** Calculamos la derivada $H'(t)$. Usamos la regla de la cadena para la función $H(t) = 6400(1 + 159e^{-0.5t})^{-1}$:
$$H'(t) = 6400 \cdot (-1) \cdot (1 + 159e^{-0.5t})^{-2} \cdot (159 e^{-0.5t} \cdot (-0.5))$$
$$H'(t) = \frac{6400 \cdot 79.5 e^{-0.5t}}{(1 + 159e^{-0.5t})^2} = \frac{508800 e^{-0.5t}}{(1 + 159e^{-0.5t})^2}$$
Dado que $e^{-0.5t} > 0$ y el denominador es un cuadrado perfecto (positivo), **$H'(t) > 0$ para todo $t \ge 0$**. La afirmación de que el modelo es siempre creciente es **correcta**.
2. **Control de la población:** Para ver si crece "sin control", calculamos el límite cuando $t \to \infty$:
$$\lim_{t \to \infty} \frac{6400}{1 + 159 e^{-0.5t}} = \frac{6400}{1 + 159 \cdot 0} = \frac{6400}{1} = 6400$$
La población no crece indefinidamente, sino que tiende a estabilizarse en **6400 hormigas** (asíntota horizontal).
✅ **Conclusión:** La afirmación del observador es **parcialmente incorrecta**. El modelo es creciente, pero el crecimiento **está controlado** por la capacidad de carga del entorno ($6400$).
Paso 5
Cálculo del tiempo para alcanzar la mitad de la capacidad
**0.75 d) ¿En qué momento la colonia de hormigas alcanzará la mitad de su capacidad de carga?**
La capacidad de carga es el límite horizontal calculado anteriormente: $6400$ hormigas. La mitad es $3200$. Debemos resolver $H(t) = 3200$:
$$\frac{6400}{1 + 159 e^{-0.5t}} = 3200$$
Pasamos el denominador multiplicando y el 3200 dividiendo:
$$\frac{6400}{3200} = 1 + 159 e^{-0.5t}$$
$$2 = 1 + 159 e^{-0.5t}$$
$$1 = 159 e^{-0.5t}$$
Despejamos la exponencial:
$$e^{-0.5t} = \frac{1}{159}$$
Para bajar el exponente, aplicamos logaritmos naturales (neperianos) en ambos lados:
$$\ln(e^{-0.5t}) = \ln\left(\frac{1}{159}\right)$$
$$-0.5t = \ln(1) - \ln(159)$$
$$-0.5t = -\ln(159)$$
Multiplicamos por $-2$ para despejar $t$:
$$t = 2 \cdot \ln(159) \approx 2 \cdot 5.0689 \approx 10.14 \text{ meses}$$
💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(1/a) = -\ln(a)$, esto simplifica mucho los cálculos con logaritmos.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{t \approx 10.14 \text{ meses}}$$