Distribución Normal: Mediciones de distancias

Lo primero que debemos hacer es definir la variable aleatoria y sus parámetros. Sea $X$ la distancia medida por el aparato en metros. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal: - Media: $\mu = 1.5$ - Varianza: $\sigma^2 = 0.64$ Para trabajar con la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, necesitamos la desviación típica $\sigma$: $$\sigma = \sqrt{0.64} = 0.8$$ Por tanto, nuestra variable es $X \sim N(1.5, \, 0.8)$. Para calcular cualquier probabilidad, utilizaremos la tipificación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1.5}{0.8}$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre comprobar si el dato proporcionado es la varianza ($\sigma^2$) o la desviación típica ($\sigma$), ya que la fórmula de tipificación usa la desviación típica.

**b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la medición del aparato sea de más de $2.1\text{ m}$?** Buscamos $P(X \gt 2.1)$. Tipificamos el valor: $$Z = \frac{2.1 - 1.5}{0.8} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75$$ Entonces: $$P(X \gt 2.1) = P(Z \gt 0.75)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen darnos la probabilidad acumulada a la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos el complementario: $$P(Z \gt 0.75) = 1 - P(Z \le 0.75)$$ Buscamos $0.75$ en la tabla $N(0,1)$: $$P(Z \le 0.75) = 0.7734$$ Sustituimos: $$P(X \gt 2.1) = 1 - 0.7734 = 0.2266$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 2.1) = 0.2266}$$

**b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de la que medición del aparato sea superior a $0.9\text{ m}$?** Buscamos $P(X \gt 0.9)$. Tipificamos el valor: $$Z = \frac{0.9 - 1.5}{0.8} = \frac{-0.6}{0.8} = -0.75$$ La probabilidad es: $$P(X \gt 0.9) = P(Z \gt -0.75)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad a la derecha de un valor negativo es igual a la probabilidad a la izquierda de su valor positivo: $$P(Z \gt -0.75) = P(Z \le 0.75)$$ Como ya hemos visto en el apartado anterior, este valor es: $$P(Z \le 0.75) = 0.7734$$ 💡 **Tip:** Gráficamente, el área a la derecha de $-0.75$ es exactamente la misma que el área a la izquierda de $0.75$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 0.9) = 0.7734}$$

**b.3) [1 punto] ¿Cuál es el valor de la distancia tal que el $80.51\%$ de las mediciones estarían por encima de él?** Buscamos un valor $d$ tal que $P(X \gt d) = 0.8051$. Primero, tipificamos la expresión: $$P\left( Z \gt \frac{d - 1.5}{0.8} \right) = 0.8051$$ Sea $z_0 = \frac{d - 1.5}{0.8}$. Tenemos que $P(Z \gt z_0) = 0.8051$. Como esta probabilidad es mayor que $0.5$, el valor $z_0$ debe estar a la izquierda del $0$ (es negativo). Aplicamos la propiedad del complementario: $$1 - P(Z \le z_0) = 0.8051 \implies P(Z \le z_0) = 1 - 0.8051 = 0.1949$$ Como $0.1949$ no está en la tabla (porque es menor que $0.5$), buscamos el valor simétrico positivo. Sabemos que: $$P(Z \le z_0) = 1 - P(Z \le |z_0|) = 0.1949$$ $$P(Z \le |z_0|) = 1 - 0.1949 = 0.8051$$ Buscamos $0.8051$ dentro de la tabla $N(0,1)$ y encontramos que corresponde a un valor crítico de $z = 0.86$. Por tanto, nuestro valor tipificado es: $$z_0 = -0.86$$ Ahora despejamos $d$: $$-0.86 = \frac{d - 1.5}{0.8}$$ $$-0.86 \cdot 0.8 = d - 1.5$$ $$-0.688 = d - 1.5$$ $$d = 1.5 - 0.688 = 0.812$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d = 0.812 \text{ metros}}$$