Probabilidad y Estadística 2025 Castilla la Mancha
Probabilidad con baraja española y extracción sucesiva
Una baraja española está compuesta de 40 cartas, entre las que hay 4 ases. En un juego de azar dos jugadores compiten entre sí. El primer jugador baraja las cartas y las va sacando una a una hasta que encuentra un as. A continuación, el otro jugador vuelve a juntar todas las cartas y repite estos pasos (es decir, vuelve a barajar y va sacando cartas hasta encontrar un as). Gana el jugador que más cartas haya sacado (contando el as). Si ambos sacan el mismo número de cartas, entonces se produce un empate.
a.1) [1,5 puntos] Calcula las probabilidades de que el as salga al sacar 1, 2 y 3 cartas, respectivamente.
a.2) [1 punto] Si el primer jugador ha sacado dos cartas (contando el as), ¿cuál es la probabilidad de que el segundo jugador le gane?
Paso 1
Modelización del problema y árbol de probabilidades
**a.1) [1,5 puntos] Calcula las probabilidades de que el as salga al sacar 1, 2 y 3 cartas, respectivamente.**
Definimos el experimento: se extraen cartas de una baraja de 40 (4 ases y 36 que no lo son) sin devolución hasta obtener un as. Sea $X$ la variable aleatoria que representa el número de cartas extraídas hasta encontrar el primer as.
Para visualizar las probabilidades de las primeras extracciones, representamos un árbol donde $A_i$ es el suceso "sacar as en la extracción $i$" y $\bar{A}_i$ es "no sacar as en la extracción $i$":
Paso 2
Cálculo de la probabilidad para 1 y 2 cartas
Calculamos las probabilidades solicitadas siguiendo los caminos del árbol:
1. **Para 1 carta ($X=1$):** El as sale en la primera extracción.
$$P(X=1) = P(A_1) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0.1$$
2. **Para 2 cartas ($X=2$):** La primera no es as y la segunda sí.
$$P(X=2) = P(\bar{A}_1 \cap A_2) = P(\bar{A}_1) \cdot P(A_2 | \bar{A}_1) = \frac{36}{40} \cdot \frac{4}{39}$$
Simplificando:
$$P(X=2) = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{39} = \frac{36}{390} = \frac{6}{65} \approx 0.0923$$
💡 **Tip:** Recuerda que al no haber devolución, el denominador disminuye en cada extracción y el número de ases se mantiene si no ha salido ninguno antes.
Paso 3
Cálculo de la probabilidad para 3 cartas
3. **Para 3 cartas ($X=3$):** Las dos primeras no son as y la tercera sí.
$$P(X=3) = P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap A_3) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2 | \bar{A}_1) \cdot P(A_3 | \bar{A}_1 \cap \bar{A}_2)$$
$$P(X=3) = \frac{36}{40} \cdot \frac{35}{39} \cdot \frac{4}{38}$$
Simplificando:
$$P(X=3) = \frac{9}{10} \cdot \frac{35}{39} \cdot \frac{2}{19} = \frac{630}{7410} = \frac{21}{247} \approx 0.0850$$
✅ **Resultado (a.1):**
$$\boxed{P(X=1) = 0.1; \quad P(X=2) = \frac{6}{65}; \quad P(X=3) = \frac{21}{247}}$$
Paso 4
Planteamiento de la condición de victoria para el segundo jugador
**a.2) [1 punto] Si el primer jugador ha sacado dos cartas (contando el as), ¿cuál es la probabilidad de que el segundo jugador le gane?**
El enunciado nos dice que el segundo jugador repite el proceso desde cero (vuelve a barajar todas las cartas). Por tanto, la probabilidad de que el segundo jugador saque $k$ cartas es la misma que la del primero.
Sea $X_1$ el número de cartas del primer jugador y $X_2$ el del segundo. Se nos da que $X_1 = 2$.
El segundo jugador **gana** si saca **más cartas** que el primero, es decir, si $X_2 \gt 2$. Esto ocurre si el segundo jugador saca 3 cartas, 4 cartas, etc.
💡 **Tip:** En probabilidad, a veces es más sencillo calcular el suceso contrario: $P(X \gt 2) = 1 - P(X \le 2)$.
Paso 5
Cálculo de la probabilidad final
Aplicamos el suceso contrario para el Jugador 2:
$$P(\text{Gana J2} | X_1=2) = P(X_2 \gt 2) = 1 - P(X_2 \le 2)$$
Como $P(X_2 \le 2) = P(X_2 = 1) + P(X_2 = 2)$, usamos los valores calculados en el apartado anterior:
$$P(X_2 \le 2) = \frac{1}{10} + \frac{6}{65}$$
Para sumar, buscamos denominador común ($130$):
$$P(X_2 \le 2) = \frac{13}{130} + \frac{12}{130} = \frac{25}{130} = \frac{5}{26}$$
Finalmente:
$$P(X_2 \gt 2) = 1 - \frac{5}{26} = \frac{21}{26} \approx 0.8077$$
✅ **Resultado (a.2):**
$$\boxed{P = \frac{21}{26} \approx 0.8077}$$