Ecuación matricial con parámetros e invertibilidad

**b.1) [1,5 puntos] ¿Para qué valores del parámetro $m$ el sistema anterior tiene solución única?** Primero, debemos despejar la matriz $X$ de la ecuación dada: $$A \cdot X - B = X$$ Agrupamos los términos que contienen $X$ en un lado de la igualdad: $$A \cdot X - X = B$$ Para poder sacar factor común la matriz $X$, recordamos que $X = I \cdot X$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2: $$(A - I) \cdot X = B$$ Llamamos $C$ a la matriz resultante de $A - I$: $$C = A - I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 1 \\ 1 & m-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m-1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al despejar matrices, el orden es fundamental. Como $X$ multiplica por la derecha en $AX$ y en $IX$, extraemos el factor común por la derecha: $(A-I)X$.

Para que la ecuación matricial $C \cdot X = B$ tenga una solución única, la matriz $C = (A - I)$ debe ser **invertible** (o regular). Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero: $$\det(C) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m-1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante: $$\det(C) = 1 \cdot (m-1) - 1 \cdot 1 = m - 1 - 1 = m - 2$$ Para que exista solución única: $$m - 2 \neq 0 \implies m \neq 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema tiene solución única para } m \in \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

**b.2) [1 punto] Para $m = 1$, resuelve el sistema y obtén el valor de $X$.** Si $m = 1$, sustituimos en la matriz $C$ obtenida en el apartado anterior: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que, casualmente, para $m=1$, la matriz $C$ coincide exactamente con la matriz $B$ del enunciado: $$C = B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ La ecuación a resolver es: $$C \cdot X = B \implies B \cdot X = B$$ 💡 **Tip:** Si una matriz $M$ es invertible, la única solución a $M \cdot X = M$ es $X = I$. Vamos a demostrarlo calculando la inversa o despejando.

Calculamos la inversa de $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. 1. Determinante: $$\det(C) = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$$ 2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: $$C_{11} = 0, \quad C_{12} = -1, \quad C_{21} = -1, \quad C_{22} = 1$$ $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Traspuesta de la adjunta: $$(\text{Adj}(C))^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Inversa: $$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} (\text{Adj}(C))^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La inversa de una matriz $2 \times 2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por $C^{-1}$: $$C \cdot X = B \implies X = C^{-1} \cdot B$$ Sustituimos los valores: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices: - Fila 1: $(0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 1$; $(0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = 0$ - Fila 2: $(1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1) = 0$; $(1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0) = 1$ $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como habíamos anticipado, el resultado es la matriz identidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$