Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a.1) [1'5 puntos] Discute el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifica el número de soluciones en cada caso.** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & -2 & a \\ 2 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ El número de soluciones dependerá de los rangos de estas matrices según el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado; si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) < n$, es compatible indeterminado; y si los rangos son distintos, es incompatible.

Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo el rango es máximo ($3$): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot (-2) \cdot 2) + (a \cdot 1 \cdot 1) - (a \cdot 0 \cdot 2) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot (-2) \cdot 1)$$ $$|A| = 0 - 4 + a - 0 - 1 + 2 = a - 3$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a - 3 = 0 \implies a = 3$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ es cero si y solo si sus filas o columnas son linealmente dependientes.

Analizamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 3$** Si $a \neq 3$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rang}(A) = 3 = \text{rang}(A^*) = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ El sistema es **Compatible Determinado** (tiene una **solución única**). **Caso 2: $a = 3$** Si $a = 3$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) < 3$. Comprobamos si hay algún menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ con $a=3$ usando la columna de términos independientes: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de una submatriz $3 \times 3$ que incluya la columna de resultados: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (0+6+1) - (0+3+3) = 7 - 6 = 1 \neq 0$$ Como este determinante es distinto de cero, $\text{rang}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible** (**no tiene solución**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 3: \text{Sistema Compatible Determinado (Solución única)} \\ a = 3: \text{Sistema Incompatible (Sin solución)} \end{cases}}$$

**a.2) [1 punto] Resuelve, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a = 0$.** Como $0 \neq 3$, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $a = 0$: $$\begin{cases} x + y = 1 & (1) \\ x - 2z = 0 & (2) \\ 2x + y + z = 3 & (3) \end{cases}$$ De la ecuación $(2)$, despejamos $x$: $$x = 2z$$ Sustituimos $x = 2z$ en la ecuación $(1)$: $$2z + y = 1 \implies y = 1 - 2z$$ Ahora sustituimos $x$ e $y$ en la ecuación $(3)$ para hallar $z$: $$2(2z) + (1 - 2z) + z = 3$$ $$4z + 1 - 2z + z = 3$$ $$3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** También podrías usar el método de Cramer o el de Gauss, pero la sustitución es muy eficiente aquí al haber ceros en los coeficientes.

Con el valor de $z = \frac{2}{3}$, calculamos $x$ e $y$: Para $x$: $$x = 2z = 2 \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$$ Para $y$: $$y = 1 - 2z = 1 - 2\left(\frac{2}{3}\right) = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$$ Por tanto, la solución única para $a = 0$ es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{4}{3}, \quad y = -\frac{1}{3}, \quad z = \frac{2}{3}}$$