Ecuación del plano y ángulo entre recta y plano

**b.1) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$.** Primero, extraemos los elementos vectoriales y puntos de la recta $r$ y el plano $\pi$ dados en el enunciado: - Recta $r$: Viene dada en su forma continua $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$. Punto de la recta: $P_r(0, 0, 0)$. Vector director: $\vec{v}_r = (1, -1, 2)$. - Plano $\pi$: Viene dado en su forma general $Ax + By + Cz + D = 0$. Vector normal: $\vec{n}_\pi = (1, -1, 3)$. 💡 **Tip:** En la ecuación continua de la recta, los denominadores corresponden a las componentes del vector director, siempre que los coeficientes de $x, y, z$ en el numerador sean 1.

Llamemos $\alpha$ al plano que queremos calcular. Para determinar su ecuación, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). 1. Como $r \subset \alpha$, el plano contiene al punto $P_r(0,0,0)$ y tiene como primer vector director a $\vec{v}_r = (1, -1, 2)$. 2. Como $\alpha \perp \pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi = (1, -1, 3)$, es paralelo al plano $\alpha$, por lo que sirve como segundo vector director. Por tanto, el plano $\alpha$ queda definido por: - Punto: $A(0, 0, 0)$ - Vectores directores: $\vec{v}_r = (1, -1, 2)$ y $\vec{n}_\pi = (1, -1, 3)$

El vector normal del plano $\alpha$, que llamaremos $\vec{n}_\alpha$, se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n}_\alpha = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n}_\alpha = [(-1 \cdot 3)\mathbf{i} + (2 \cdot 1)\mathbf{j} + (1 \cdot -1)\mathbf{k}] - [(1 \cdot -1)\mathbf{k} + (-1 \cdot 2)\mathbf{i} + (3 \cdot 1)\mathbf{j}]$$ $$\vec{n}_\alpha = (-3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}) - (-\mathbf{k} - 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j})$$ $$\vec{n}_\alpha = (-3+2)\mathbf{i} + (2-3)\mathbf{j} + (-1+1)\mathbf{k} = (-1, -1, 0)$$ Podemos usar como vector normal $\vec{n}_\alpha = (1, 1, 0)$ para simplificar. La ecuación del plano será: $1(x - 0) + 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y = 0}$$

**b.2) [1,25 puntos] Calcula el ángulo entre la recta $r$ y el plano $\pi$ teniendo en cuenta que se cortan en el punto $A(0, 0, 0)$.** El ángulo $\beta$ entre una recta y un plano se calcula mediante el seno, utilizando el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\sin(\beta) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Calculamos cada elemento por separado: 1. Producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1, -1, 2) \cdot (1, -1, 3) = (1 \cdot 1) + (-1 \cdot -1) + (2 \cdot 3) = 1 + 1 + 6 = 8$$ 2. Módulo de $\vec{v}_r$: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ 3. Módulo de $\vec{n}_\pi$: $$|\vec{n}_\pi| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el ángulo entre dos planos o dos rectas usamos el coseno, pero para recta-plano usamos el seno.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula: $$\sin(\beta) = \frac{|8|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}} = \frac{8}{\sqrt{66}}$$ Para hallar el ángulo $\beta$, aplicamos la función arcoseno: $$\beta = \arcsin\left(\frac{8}{\sqrt{66}}\right)$$ Calculando el valor aproximado: $$\beta \approx \arcsin(0.9845) \approx 79.98^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\beta = \arcsin\left(\frac{8}{\sqrt{66}}\right) \approx 79.98^\circ}$$