Rectas perpendiculares y distancia de punto a recta

**a.1) [1,25 puntos] Determina la ecuación de la recta, $r_3$, cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las rectas $r_1$ y $r_2$ y que pasa por el punto $A(0, 0, 0)$.** En primer lugar, extraemos los vectores directores de las rectas $r_1$ y $r_2$ a partir de sus ecuaciones en forma continua. Los denominadores de dichas fracciones nos dan las componentes de los vectores: - Vector director de $r_1$: $\vec{v}_1 = (1, -1, 1)$ - Vector director de $r_2$: $\vec{v}_2 = (2, 1, -1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el vector director es $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ siempre que los coeficientes de $x, y, z$ sean 1.

Para que la recta $r_3$ sea perpendicular a $r_1$ y $r_2$ simultáneamente, su vector director $\vec{v}_3$ debe ser el resultado del producto vectorial de $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$: $$\vec{v}_3 = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila (Sarrus): $$\vec{v}_3 = \mathbf{i}((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1))$$ $$\vec{v}_3 = \mathbf{i}(1 - 1) - \mathbf{j}(-1 - 2) + \mathbf{k}(1 + 2) = (0, 3, 3)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar cualquier vector proporcional. Dividimos entre 3 para obtener un vector más sencillo: $$\vec{v}'_3 = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector perpendicular a ambos a la vez.

Utilizamos el punto $A(0, 0, 0)$ y el vector director $\vec{v}'_3 = (0, 1, 1)$. La ecuación paramétrica de la recta es: $$r_3 \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Y su expresión en forma continua (omitiendo el denominador cero como una restricción de plano) es: ✅ **Resultado final a.1:** $$\boxed{r_3 \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = z \end{cases}}$$

**a.2) [1,25 puntos] Calcula la distancia de la recta $r_2$ al punto $B(-1, -1, 2)$.** Para calcular la distancia de un punto a una recta, necesitamos un punto de la recta y su vector director: - Punto de $r_2$: $P_2 = (1, 1, 1)$ - Vector director de $r_2$: $\vec{v}_2 = (2, 1, -1)$ - Punto exterior: $B = (-1, -1, 2)$ Calculamos el vector que une el punto de la recta con el punto $B$: $$\vec{P_2B} = B - P_2 = (-1 - 1, -1 - 1, 2 - 1) = (-2, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto $P$ a una recta $r$ se define como la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta.

La fórmula de la distancia de un punto $B$ a una recta $r$ con vector director $\vec{v}$ y punto $P$ es: $$d(B, r_2) = \frac{|\vec{P_2B} \times \vec{v}_2|}{|\vec{v}_2|}$$ Primero, calculamos el producto vectorial del numerador: $$\vec{P_2B} \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 - 1) - \mathbf{j}(2 - 2) + \mathbf{k}(-2 - (-4)) = (1, 0, 2)$$ Ahora, calculamos los módulos: 1. Módulo del producto vectorial: $|\vec{P_2B} \times \vec{v}_2| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ 2. Módulo del vector director: $|\vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área del paralelogramo formado por $\vec{P_2B}$ y $\vec{v}_2$ es el módulo de su producto vectorial. La distancia es la 'altura' de ese paralelogramo.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula: $$d(B, r_2) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos para expresar el resultado de forma más elegante: $$d(B, r_2) = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \approx 0,913 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado final a.2:** $$\boxed{d(B, r_2) = \frac{\sqrt{30}}{6} \text{ unidades}}$$