Concentración de virus y cambio mínimo

**a) [1,25 puntos] La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(t)$ mide cómo cambia la concentración de virus activos. Calcula el tiempo en el que este cambio toma el valor más pequeño posible, es decir, el tiempo $t$ en el que el valor de la derivada de $f(t)$ es mínimo.** El enunciado nos indica que debemos minimizar la función derivada $f'(t)$. Primero, calculamos dicha derivada aplicando la regla del producto: $$f(t) = 5(t + 1)e^{-t}$$ $$f'(t) = 5 \cdot \left[ 1 \cdot e^{-t} + (t + 1) \cdot e^{-t}(-1) \right]$$ Simplificamos la expresión: $$f'(t) = 5 \cdot [ e^{-t} - (t + 1)e^{-t} ] = 5e^{-t} [ 1 - (t + 1) ] = 5e^{-t} (-t)$$ $$\boxed{f'(t) = -5te^{-t}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En este caso, $u = 5(t+1)$ y $v = e^{-t}$.

Para hallar el mínimo de $f'(t)$, debemos encontrar los puntos críticos de esta función, lo cual requiere calcular su derivada, es decir, la segunda derivada de la función original $f''(t)$: $$f''(t) = \frac{d}{dt}(-5te^{-t}) = -5 \cdot \left[ 1 \cdot e^{-t} + t \cdot e^{-t}(-1) \right]$$ $$f''(t) = -5e^{-t} (1 - t) = 5(t - 1)e^{-t}$$ Igualamos a cero para encontrar el punto crítico: $$5(t - 1)e^{-t} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-t}$ nunca es cero, la única solución es: $$t - 1 = 0 \implies t = 1$$ $$\boxed{t = 1}$$

Analizamos el signo de $f''(t)$ alrededor de $t=1$ para confirmar que se trata de un mínimo relativo para $f'(t)$. Notamos que para $t \geq 0$, el signo de $f''(t)$ depende únicamente del factor $(t-1)$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f''(t) & - & 0 & +\\\hline f'(t) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 1)$, $f''(t) \lt 0$, por lo que $f'(t)$ es decreciente. - En el intervalo $(1, +\infty)$, $f''(t) \gt 0$, por lo que $f'(t)$ es creciente. Por lo tanto, en **$t = 1$** la derivada $f'(t)$ alcanza su valor mínimo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 1}$$

**b) [1,25 puntos] ¿Cuál sería el valor de la concentración de virus a largo plazo? Es decir, el valor cuando el tiempo tiende a infinito: $\lim_{t \to +\infty} f(t)$.** Debemos calcular el límite: $$\lim_{t \to +\infty} 5(t + 1)e^{-t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{5(t + 1)}{e^t}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{5(t + 1)}{e^t} \stackrel{H}{=} \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{d}{dt}(5t + 5)}{\frac{d}{dt}(e^t)} = \lim_{t \to +\infty} \frac{5}{e^t}$$ Como el denominador tiende a infinito y el numerador es una constante: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{5}{e^t} = 0$$ Esto significa que, a largo plazo, la concentración de virus desaparecerá. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital se puede aplicar cuando tenemos indeterminaciones de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0}$$