Distribución Binomial: Inspección de restaurantes

**b.1) [0,75 puntos] Probabilidad de que tres restaurantes no pasen la inspección.** Estamos ante un experimento de Bernoulli (un restaurante pasa o no la inspección) que se repite $n=8$ veces de forma independiente. Por tanto, seguimos una **distribución Binomial**. Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de restaurantes que **no pasan** la inspección: - $n = 8$ (número de ensayos) - $p = 0,05$ (probabilidad de que un restaurante no pase, $5\%$) - $q = 1 - p = 0,95$ (probabilidad de que un restaurante pase) La variable sigue el modelo: $X \sim B(8, \, 0,05)$. La fórmula de la probabilidad binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Para $k=3$: $$P(X=3) = \binom{8}{3} \cdot 0,05^3 \cdot 0,95^{8-3}$$ Calculamos el número combinatorio: $\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$. $$P(X=3) = 56 \cdot 0,000125 \cdot 0,77378 = 0,005416$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Es fundamental identificar bien qué éxito define la variable $X$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=3) \approx 0,0054}$$

**b.2) [0,75 puntos] Probabilidad de que todos los restaurantes pasen la inspección.** Si todos los restaurantes pasan la inspección, significa que el número de restaurantes que **no pasan** es exactamente cero ($X=0$). Calculamos $P(X=0)$: $$P(X=0) = \binom{8}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^8$$ Como $\binom{8}{0} = 1$ y $0,05^0 = 1$: $$P(X=0) = 0,95^8 \approx 0,6634$$ Este resultado también se puede interpretar directamente como la probabilidad de que el primero pase **y** el segundo pase... hasta el octavo: $0,95 \cdot 0,95 \cdot ... \cdot 0,95$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=0) \approx 0,6634}$$

**b.3) [1 punto] Probabilidad de que al menos dos restaurantes pasen la inspección.** Definimos $Y$ como el número de restaurantes que **pasan** la inspección. En este caso, $Y \sim B(8, \, 0,95)$. Se nos pide $P(Y \ge 2)$. Es mucho más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario: $$P(Y \ge 2) = 1 - P(Y < 2) = 1 - [P(Y=0) + P(Y=1)]$$ Calculamos cada término: - $P(Y=0) = \binom{8}{0} \cdot 0,95^0 \cdot 0,05^8 = 1 \cdot 1 \cdot 0,000000000039 \approx 0$ - $P(Y=1) = \binom{8}{1} \cdot 0,95^1 \cdot 0,05^7 = 8 \cdot 0,95 \cdot 0,00000078125 = 0,00000059375$ Sumamos las probabilidades extremadamente bajas: $$P(Y < 2) = 0,000000000039 + 0,00000059375 \approx 0,0000005938$$ Finalmente: $$P(Y \ge 2) = 1 - 0,0000005938 = 0,9999994062$$ Dado que la probabilidad de pasar es muy alta ($95\%$), es prácticamente seguro que al menos 2 de los 8 restaurantes pasen la inspección. 💡 **Tip:** El suceso contrario de "al menos $k$" es "menos de $k$". Si la probabilidad es casi 1, indica que el suceso es casi seguro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \ge 2) \approx 1}$$