Probabilidad en fotocopiadoras. Teorema de la probabilidad total y Bayes

**a.1) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que fotocopie sin fallos?** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: Elegir la fotocopiadora A. - $B$: Elegir la fotocopiadora B. - $C$: Elegir la fotocopiadora C. - $F$: La página tiene fallos (es defectuosa). - $\bar{F}$: La página no tiene fallos (está correcta). Como el estudiante elige una fotocopiadora al azar entre tres, las probabilidades de elegir cada una son: $$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$$ Los porcentajes de fallos nos dan las probabilidades condicionadas: - $P(F|A) = 0.03 \implies P(\bar{F}|A) = 0.97$ - $P(F|B) = 0.05 \implies P(\bar{F}|B) = 0.95$ - $P(F|C) = 0.04 \implies P(\bar{F}|C) = 0.96$ Representamos la situación en un **diagrama de árbol**:

Para calcular la probabilidad total de que la página no tenga fallos, $P(\bar{F})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las probabilidades de llegar a este resultado a través de cada fotocopiadora: $$P(\bar{F}) = P(A) \cdot P(\bar{F}|A) + P(B) \cdot P(\bar{F}|B) + P(C) \cdot P(\bar{F}|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(\bar{F}) = \left(\frac{1}{3} \cdot 0.97\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot 0.95\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot 0.96\right)$$ $$P(\bar{F}) = \frac{0.97 + 0.95 + 0.96}{3} = \frac{2.88}{3} = 0.96$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total nos permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las ramas que llevan a él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{F}) = 0.96}$$

**a.2) [1,5 puntos] Si al fotocopiar observa que una página es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que se haya utilizado la fotocopiadora B?** Nos piden la probabilidad condicionada $P(B|F)$. Para ello utilizaremos el **Teorema de Bayes**. Primero, necesitamos la probabilidad de que una página tenga fallos, $P(F)$. Como sabemos que $P(\bar{F}) = 0.96$: $$P(F) = 1 - P(\bar{F}) = 1 - 0.96 = 0.04$$ Ahora aplicamos el Teorema de Bayes: $$P(B|F) = \frac{P(B) \cdot P(F|B)}{P(F)}$$ Sustituimos los valores: $$P(B|F) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0.05}{0.04} = \frac{\frac{0.05}{3}}{0.04}$$ Multiplicamos numerador y denominador para simplificar: $$P(B|F) = \frac{0.05}{3 \cdot 0.04} = \frac{0.05}{0.12} = \frac{5}{12} \approx 0.4167$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final (fallo) y queremos saber la causa (fotocopiadora B). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|F) = \frac{5}{12} \approx 0.4167}$$