Producto de matrices, invertibilidad e inversa con parámetros

**b.1) [1,25 puntos] Calcula los valores del parámetro $a$ para que $A \cdot B$ sea invertible. Justifica tu respuesta.** Primero, calculamos el producto $C = A \cdot B$. Dado que $A$ es una matriz de dimensiones $2 \times 3$ y $B$ es de $3 \times 2$, el resultado será una matriz de dimensiones $2 \times 2$: $$C = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ a & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones elemento a elemento: - $c_{11} = (1 \cdot 1) + (2 \cdot a) + (a \cdot 0) = 1 + 2a$ - $c_{12} = (1 \cdot 3) + (2 \cdot 0) + (a \cdot 2) = 3 + 2a$ - $c_{21} = (1 \cdot 1) + (-1 \cdot a) + (-1 \cdot 0) = 1 - a$ - $c_{22} = (1 \cdot 3) + (-1 \cdot 0) + (-1 \cdot 2) = 3 - 2 = 1$ Por tanto: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 + 2a & 3 + 2a \\ 1 - a & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ se obtiene multiplicando la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Una matriz cuadrada es invertible (o regular) si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A \cdot B$: $$|A \cdot B| = \begin{vmatrix} 1 + 2a & 3 + 2a \\ 1 - a & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante de orden 2 (producto de la diagonal principal menos producto de la diagonal secundaria): $$|A \cdot B| = (1 + 2a) \cdot 1 - (1 - a) \cdot (3 + 2a)$$ $$|A \cdot B| = 1 + 2a - (3 + 2a - 3a - 2a^2)$$ $$|A \cdot B| = 1 + 2a - (3 - a - 2a^2)$$ $$|A \cdot B| = 1 + 2a - 3 + a + 2a^2 = 2a^2 + 3a - 2$$ 💡 **Tip:** Una matriz $M$ tiene inversa si $\det(M) \neq 0$. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

Para hallar cuándo la matriz **no** es invertible, igualamos el determinante a cero: $$2a^2 + 3a - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$ Obtenemos dos soluciones: - $a_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ - $a_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$ Por tanto, la matriz $A \cdot B$ es invertible para todo valor de $a$ excepto para $1/2$ y $-2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1/2\}}$$

**b.2) [1,25 puntos] Calcula la inversa de $A \cdot B$ en función de $a$.** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$, la inversa se calcula como: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{pmatrix} D & -B \\ -C & A \end{pmatrix}$$ En nuestro caso, tenemos: - $|A \cdot B| = 2a^2 + 3a - 2$ - La matriz es $A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 + 2a & 3 + 2a \\ 1 - a & 1 \end{pmatrix}$ Intercambiamos los elementos de la diagonal principal y cambiamos el signo de los de la diagonal secundaria: $$(A \cdot B)^{-1} = \frac{1}{2a^2 + 3a - 2} \begin{pmatrix} 1 & -(3 + 2a) \\ -(1 - a) & 1 + 2a \end{pmatrix}$$ Simplificando los signos: $$(A \cdot B)^{-1} = \frac{1}{2a^2 + 3a - 2} \begin{pmatrix} 1 & -2a - 3 \\ a - 1 & 2a + 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** También podrías usar el método de la matriz adjunta: $M^{-1} = \frac{1}{|M|} (Adj(M))^t$. Para matrices $2 \times 2$, el resultado siempre coincide con la regla rápida aplicada arriba. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A \cdot B)^{-1} = \frac{1}{2a^2 + 3a - 2} \begin{pmatrix} 1 & -2a - 3 \\ a - 1 & 2a + 1 \end{pmatrix}}$$