Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a.1) [1,5 puntos] Discute la resolución del sistema según los valores que pueda tomar el parámetro $a \in \mathbb{R}$ e indica el número de soluciones en cada caso.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 0 & a \\ a & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 2\cdot 1) + (1\cdot 0\cdot a) + (4\cdot 1\cdot (-1)) - [(-1\cdot 2\cdot a) + (0\cdot 1\cdot 1) + (1\cdot 4\cdot 1)]$$ $$|A| = 2 + 0 - 4 - [-2a + 0 + 4] = -2 + 2a - 4 = 2a - 6$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$2a - 6 = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica cuándo el sistema es Compatible Determinado (si $|A| \neq 0$).

Analizamos el caso general donde el determinante es distinto de cero: **Caso 1: $a \neq 3$** Si $a \neq 3$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ tiene dimensiones $3 \times 4$, su rango también debe ser 3, ya que no puede ser mayor que el número de filas: $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, y coincide con el número de incógnitas $(n=3)$, aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$\boxed{\text{Si } a \neq 3, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD). Tiene solución única.}}$$

Analizamos qué ocurre cuando el determinante es igual a cero: **Caso 2: $a = 3$** Si $a = 3$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ estudiando los menores de orden 3 que incluyan la columna de términos independientes. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 + 9 + 8) - (12 + 3 + 4) = 19 - 19 = 0$$ Observamos que en la matriz ampliada, la tercera fila es la diferencia de la segunda y la primera ($R_3 = R_2 - R_1$): $$ (4, 2, 0, 3) - (1, 1, -1, 2) = (3, 1, 1, 1) $$ Esto confirma que todas las filas son linealmente dependientes y el rango de $A^*$ no puede ser 3. Por tanto, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$\boxed{\text{Si } a = 3, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI). Tiene infinitas soluciones.}}$$

**a.2) [1 punto] Para $a = 0$, resuelve el sistema de ecuaciones, de forma razonada.** Sustituimos $a = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y - z = 2 \quad (1) \\ 4x + 2y = 0 \quad (2) \\ y + z = 1 \quad (3) \end{cases}$$ De la ecuación (2), despejamos $y$: $$4x + 2y = 0 \implies 2y = -4x \implies y = -2x$$ De la ecuación (3), despejamos $z$ en función de $y$, y por tanto de $x$: $$z = 1 - y = 1 - (-2x) = 1 + 2x$$ Ahora sustituimos $y$ y $z$ en la ecuación (1) para hallar $x$: $$x + (-2x) - (1 + 2x) = 2$$ $$x - 2x - 1 - 2x = 2$$ $$-3x - 1 = 2 \implies -3x = 3 \implies x = -1$$ Calculamos los valores de $y$ y $z$: $$y = -2(-1) = 2$$ $$z = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar la solución sustituyendo los valores obtenidos en las tres ecuaciones originales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -1, \, y = 2, \, z = -1}$$