Geometría en el espacio: planos y volumen de tetraedro

**b.1) [1 punto] Calcula la ecuación del plano $\pi'$ que pasa por $C(1,1, -2)$, es paralelo a la recta $r$ y perpendicular al plano $\pi \equiv -x + y + 2z = 1$.** Para definir un plano, necesitamos un punto y su vector normal (o dos vectores directores). En este caso, buscaremos el vector normal $\vec{n}'$ del plano $\pi'$. 1. La recta $r$ pasa por $A(1, 0, 3)$ y $B(0, 4, -1)$. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene restando las coordenadas de sus puntos: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 4 - 0, -1 - 3) = (-1, 4, -4)$$ 2. El plano $\pi \equiv -x + y + 2z = 1$ tiene como vector normal los coeficientes de las incógnitas: $$\vec{n}_{\pi} = (-1, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** Si un plano es paralelo a una recta, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. Si dos planos son perpendiculares, sus vectores normales también lo son.

Puesto que el plano $\pi'$ es paralelo a $r$ y perpendicular a $\pi$, su vector normal $\vec{n}'$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{v}_r$ y a $\vec{n}_{\pi}$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{n}' = \vec{v}_r \times \vec{n}_{\pi} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 4 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus o desarrollo por filas: $$\vec{n}' = \mathbf{i}(4 \cdot 2 - (-4) \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot 2 - (-4) \cdot (-1)) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 4 \cdot (-1))$$ $$\vec{n}' = \mathbf{i}(8 + 4) - \mathbf{j}(-2 - 4) + \mathbf{k}(-1 + 4)$$ $$\vec{n}' = 12\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (12, 6, 3)$$ Para trabajar con números más sencillos, podemos simplificar el vector normal dividiendo por 3: $$\vec{n}' = (4, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al vector normal sigue siendo un vector normal válido para el plano.

Utilizamos el punto $C(1, 1, -2)$ y el vector normal $\vec{n}' = (4, 2, 1)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ es el vector normal: $$4(x - 1) + 2(y - 1) + 1(z - (-2)) = 0$$ $$4x - 4 + 2y - 2 + z + 2 = 0$$ $$4x + 2y + z - 4 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\pi' \equiv 4x + 2y + z - 4 = 0}$$

**b.2) [1,5 puntos] Determina los valores reales de $m \in \mathbb{R}$, para que los puntos $A(-1, 2, 3)$, $B(-1, 0, -1)$, $C(2, -1, 1)$ y $D(2, 3, m)$, formen un tetraedro de volumen 8 unidades cúbicas.** Para calcular el volumen de un tetraedro a partir de sus vértices, calculamos los tres vectores que parten de un mismo origen (por ejemplo, el punto $A$): * $\vec{AB} = B - A = (-1 - (-1), 0 - 2, -1 - 3) = (0, -2, -4)$ * $\vec{AC} = C - A = (2 - (-1), -1 - 2, 1 - 3) = (3, -3, -2)$ * $\vec{AD} = D - A = (2 - (-1), 3 - 2, m - 3) = (3, 1, m - 3)$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro es la sexta parte del volumen del paralelepípedo formado por esos tres vectores.

El volumen es $V = \frac{1}{6} | [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] |$, donde el corchete representa el producto mixto (el determinante de la matriz formada por los vectores): $$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 3 & -3 & -2 \\ 3 & 1 & m - 3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (que contiene un cero): $$\Delta = 0 - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & m - 3 \end{vmatrix} + (-4) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\Delta = 2 \cdot [3(m - 3) - (-2) \cdot 3] - 4 \cdot [3 \cdot 1 - (-3) \cdot 3]$$ $$\Delta = 2(3m - 9 + 6) - 4(3 + 9)$$ $$\Delta = 2(3m - 3) - 4(12)$$ $$\Delta = 6m - 6 - 48 = 6m - 54$$

Aplicamos la fórmula del volumen e igualamos a 8: $$V = \frac{1}{6} | 6m - 54 | = 8$$ Multiplicamos por 6 en ambos lados: $$| 6m - 54 | = 48$$ Dividimos todo el interior del valor absoluto por 6 para simplificar: $$| m - 9 | = 8$$ Esto nos da dos posibles soluciones debido al valor absoluto: 1. $m - 9 = 8 \implies m = 17$ 2. $m - 9 = -8 \implies m = 1$ ✅ **Resultado final:** Los valores de $m$ que cumplen la condición son: $$\boxed{m = 1 \text{ y } m = 17}$$