Puntos coplanarios, ecuación del plano y distancias

**a.1) [1 punto] Calcula el valor de $m$ para que los cuatro puntos sean coplanarios.** Cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ son coplanarios si los vectores formados entre ellos, por ejemplo $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$, son linealmente dependientes. Esto ocurre cuando el determinante de la matriz formada por sus componentes es igual a cero. Primero, calculamos los vectores tomando $A$ como origen: $$\vec{AB} = B - A = (1-0, 2-1, 0-(-2)) = (1, 1, 2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-0, 0-1, 1-(-2)) = (0, -1, 3)$$ $$\vec{AD} = D - A = (1-0, 0-1, m-(-2)) = (1, -1, m+2)$$ 💡 **Tip:** Para que puntos sean coplanarios, el volumen del paralelepípedo que definen debe ser cero, lo que equivale a que su producto mixto sea nulo.

Planteamos el determinante e igualamos a cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & m+2 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos por la regla de Sarrus: $$\text{Det} = [1 \cdot (-1) \cdot (m+2) + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot (-1)] - [1 \cdot (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 3 \cdot 1 + (m+2) \cdot 0 \cdot 1]$$ $$\text{Det} = [-(m+2) + 3 + 0] - [-2 - 3 + 0]$$ $$\text{Det} = -m - 2 + 3 + 5 = -m + 6$$ Igualamos a cero para hallar $m$: $$-m + 6 = 0 \implies m = 6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 6}$$

**a.2) [0,75 puntos] Determina la ecuación del plano $\pi$ que contiene al toldo.** El plano $\pi$ contiene a los puntos $A, B, C$ (y a $D$ si $m=6$). Para hallar su ecuación, necesitamos un punto y un vector normal $\vec{n}$. El vector normal se obtiene mediante el producto vectorial de dos vectores del plano, como $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante paso a paso: $$\vec{n} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(3 - (-2)) - \vec{j}(3 - 0) + \vec{k}(-1 - 0) = 5\vec{i} - 3\vec{j} - 1\vec{k}$$ $$\vec{n} = (5, -3, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define la estructura de la ecuación implícita del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano tiene la forma $5x - 3y - z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos uno de los puntos, por ejemplo $C(0,0,1)$: $$5(0) - 3(0) - 1 + D = 0 \implies -1 + D = 0 \implies D = 1$$ Por tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\pi: 5x - 3y - z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{5x - 3y - z + 1 = 0}$$

**a.3) [0,75 puntos] Si los adornos florales deben estar como mínimo a 1 metro de distancia del toldo y se ha colocado un adorno de flores en el punto $P(1,2,3)$, ¿estará correctamente ubicado?** Debemos calcular la distancia del punto $P(1,2,3)$ al plano $\pi: 5x - 3y - z + 1 = 0$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(P, \pi) = \frac{|5(1) - 3(2) - 1(3) + 1|}{\sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-1)^2}}$$ $$d(P, \pi) = \frac{|5 - 6 - 3 + 1|}{\sqrt{25 + 9 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{35}} = \frac{3}{\sqrt{35}}$$ Calculamos el valor aproximado: $$d(P, \pi) \approx \frac{3}{5.916} \approx 0.507 \text{ metros}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre se mide en valor absoluto porque no existen distancias negativas.

El enunciado indica que el adorno debe estar como **mínimo a 1 metro** de distancia. Como la distancia calculada es $d \approx 0.507 \text{ m}$ y se cumple que: $$0.507 \text{ m} < 1 \text{ m}$$ El punto $P$ no cumple la restricción de seguridad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No estará correctamente ubicado, ya que la distancia es menor a 1 metro.}}$$