Optimización del volumen de una caja y área entre curvas

**a) [0,75 puntos] Determina el volumen de la caja.** Al plegar las pestañas de la plancha de cartón, las dimensiones finales de la caja sin tapa serán: - **Largo:** El largo original menos dos recortes de lado $x$, es decir, $48 - 2x$. - **Ancho:** El ancho original menos dos recortes de lado $x$, es decir, $30 - 2x$. - **Alto:** Al levantar las solapas, la altura coincide con el lado del cuadrado recortado, $x$. El volumen $V(x)$ de un prisma rectangular se calcula como el producto de sus tres dimensiones: $$V(x) = (\text{largo}) \cdot (\text{ancho}) \cdot (\text{alto})$$ $$V(x) = (48 - 2x) \cdot (30 - 2x) \cdot x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que la caja exista físicamente, $x$ debe ser mayor que $0$ y menor que la mitad del lado más corto ($30/2 = 15$). Por tanto, el dominio es $x \in (0, 15)$.

Para facilitar la derivación en el siguiente apartado, expandimos el producto: 1. Multiplicamos los binomios: $$(48 - 2x)(30 - 2x) = 1440 - 96x - 60x + 4x^2 = 4x^2 - 156x + 1440$$ 2. Multiplicamos por la altura $x$: $$V(x) = (4x^2 - 156x + 1440) \cdot x = 4x^3 - 156x^2 + 1440x$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{V(x) = 4x^3 - 156x^2 + 1440x \text{ cm}^3}$$

**b) [1 punto] Determina las dimensiones de la caja si se quiere que contenga el mayor volumen posible.** Para maximizar el volumen, derivamos la función $V(x)$ e igualamos a cero: $$V'(x) = 12x^2 - 312x + 1440$$ Resolvemos la ecuación $12x^2 - 312x + 1440 = 0$. Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación entre $12$: $$x^2 - 26x + 120 = 0$$ Aplicamos la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120}}{2 \cdot 1} = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 480}}{2} = \frac{26 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{26 \pm 14}{2}$$ Esto nos da dos posibles soluciones: - $x_1 = \frac{26 + 14}{2} = 20$ - $x_2 = \frac{26 - 14}{2} = 6$ Como dijimos anteriormente, $x$ debe estar en el intervalo $(0, 15)$, por lo que descartamos $x=20$ (no se pueden quitar $20$ cm de cada lado en un ancho de $30$ cm). El punto crítico válido es **$x = 6$ cm**.

Para confirmar que $x=6$ es un máximo relativo, evaluamos en la segunda derivada: $$V''(x) = 24x - 312$$ $$V''(6) = 24(6) - 312 = 144 - 312 = -168$$ Como $V''(6) \lt 0$, se confirma que en $x=6$ hay un **máximo**. **Tabla de monotonía de $V(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,6) & 6 & (6,15)\\\hline V'(x) & + & 0 & -\\\hline V(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Ahora calculamos las dimensiones finales sustituyendo $x=6$: - **Alto:** $x = 6\text{ cm}$ - **Largo:** $48 - 2(6) = 36\text{ cm}$ - **Ancho:** $30 - 2(6) = 18\text{ cm}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las dimensiones son } 36\text{ cm de largo, } 18\text{ cm de ancho y } 6\text{ cm de alto}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "V", "latex": "V(x) = 4x^3 - 156x^2 + 1440x \\left\\{0 < x < 15\\right\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(6, 3456)", "showLabel": true, "label": "Máximo (6, 3456)", "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 16, "bottom": -100, "top": 4000 } } }

**c) [0,75 puntos] Calcula el área de una de las aberturas.** Las aberturas vienen delimitadas por $f(t) = t^2 - 4t$ y $g(t) = 2t - 5$. Primero igualamos las funciones para hallar los límites de integración: $$t^2 - 4t = 2t - 5 \implies t^2 - 6t + 5 = 0$$ Factorizamos o resolvemos: $$(t - 1)(t - 5) = 0$$ Los puntos de corte son **$t = 1$** y **$t = 5$**. 💡 **Tip:** Para saber qué función está por encima, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $t=2$: - $f(2) = 2^2 - 4(2) = -4$ - $g(2) = 2(2) - 5 = -1$ Como $g(2) \gt f(2)$, la recta $g(t)$ está por encima de la parábola $f(t)$ en el intervalo $[1, 5]$.

Planteamos la integral definida de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{1}^{5} [g(t) - f(t)] dt = \int_{1}^{5} [(2t - 5) - (t^2 - 4t)] dt = \int_{1}^{5} (-t^2 + 6t - 5) dt$$ Calculamos la primitiva: $$F(t) = -\frac{t^3}{3} + \frac{6t^2}{2} - 5t = -\frac{t^3}{3} + 3t^2 - 5t$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = F(5) - F(1)$$ $$F(5) = -\frac{125}{3} + 3(25) - 5(5) = -\frac{125}{3} + 75 - 25 = -\frac{125}{3} + 50 = \frac{25}{3}$$ $$F(1) = -\frac{1}{3} + 3(1) - 5(1) = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}$$ $$A = \frac{25}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{32}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{32}{3} \approx 10,67 \text{ unidades de área}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^2 - 4x", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x) = 2x - 5", "color": "#16a34a" }, { "id": "area", "latex": "f(x) \\le y \\le g(x) \\left\\{1 \\le x \\le 5\\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 7, "bottom": -6, "top": 7 } } }