Geometría en el espacio: Distancias entre recta y plano y perpendicularidad

**a) Calcular la ecuación de un plano $\pi'$ paralelo al plano $\pi$ y que esté a una distancia de $2\sqrt{3}$ unidades de la recta $r$. ¿Es único ese plano? Justificar la respuesta.** Primero, extraemos los elementos característicos de la recta $r$ y el plano $\pi$: - Del plano $\pi \equiv x + y - z - 2 = 0$, su vector normal es $\vec{n} = (1, 1, -1)$. - De la recta $r$ en su forma continua, obtenemos un punto $R(1, 0, 2)$ y su vector director $\vec{v}_r = (-3, 2, -1)$. Para que la distancia entre una recta y un plano sea constante, la recta debe ser paralela al plano. Comprobamos si $\vec{v}_r$ es perpendicular a $\vec{n}$ mediante el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n} = (-3, 2, -1) \cdot (1, 1, -1) = (-3) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = -3 + 2 + 1 = 0$$ Como el producto escalar es $0$, la recta $r$ es paralela a cualquier plano que sea paralelo a $\pi$. 💡 **Tip:** Si el producto escalar no fuera cero, la recta cortaría al plano y la distancia mínima sería cero.

Cualquier plano $\pi'$ paralelo a $\pi$ tiene el mismo vector normal, por lo que su ecuación general es: $$\pi' \equiv x + y - z + D = 0$$ La distancia de la recta $r$ al plano $\pi'$ es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano, por ejemplo, el punto $R(1, 0, 2)$: $$d(r, \pi') = d(R, \pi') = \frac{|Ax_R + By_R + Cz_R + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $R$ y los coeficientes de $\pi'$: $$d(R, \pi') = \frac{|1(1) + 1(0) - 1(2) + D|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - 2 + D|}{\sqrt{3}} = \frac{|D - 1|}{\sqrt{3}}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la distancia punto-plano es fundamental en geometría 3D. Asegúrate de poner el plano en su forma implícita (igualado a cero).

Igualamos la expresión de la distancia al valor dado en el enunciado ($2\sqrt{3}$): $$\frac{|D - 1|}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \implies |D - 1| = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \implies |D - 1| = 2 \cdot 3 = 6$$ Resolvemos la ecuación con valor absoluto, que nos da dos posibles soluciones para $D$: 1. $D - 1 = 6 \implies D_1 = 7$ 2. $D - 1 = -6 \implies D_2 = -5$ Por tanto, existen dos planos que cumplen las condiciones: $$\boxed{\pi'_1 \equiv x + y - z + 7 = 0} \quad \text{y} \quad \boxed{\pi'_2 \equiv x + y - z - 5 = 0}$$ **Justificación:** El plano **no es único**. Existen dos planos paralelos a $\pi$ que se encuentran a la misma distancia de la recta $r$, situados a ambos lados de la misma.

**b) Calcular la ecuación de un plano $\pi''$ perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por los puntos $P(1, 0, 1)$ y $Q(0, 1, 0)$.** Para definir el plano $\pi''$, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). 1. Como el plano $\pi''$ debe ser perpendicular al plano $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n} = (1, 1, -1)$, será una dirección contenida en $\pi''$. 2. Como el plano contiene a los puntos $P(1, 0, 1)$ y $Q(0, 1, 0)$, el vector que los une también será una dirección del plano: $$\vec{v}_1 = \vec{PQ} = Q - P = (0-1, 1-0, 0-1) = (-1, 1, -1)$$ Ya tenemos dos vectores directores para $\pi''$: $\vec{u} = (1, 1, -1)$ y $\vec{v} = (-1, 1, -1)$.

Calculamos el vector normal $\vec{n}''$ mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n}'' = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}'' = \mathbf{i}(-1) + \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) - [\mathbf{k}(-1) + \mathbf{i}(-1) + \mathbf{j}(-1)]$$ $$\vec{n}'' = -\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} + \mathbf{k} + \mathbf{i} + \mathbf{j} = 0\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (0, 2, 2)$$ Podemos simplificar el vector normal usando uno proporcional: $\vec{n}'' = (0, 1, 1)$. Finalmente, usamos el vector normal y el punto $Q(0, 1, 0)$ para hallar la ecuación general: $$0(x - 0) + 1(y - 1) + 1(z - 0) = 0 \implies y - 1 + z = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\pi'' \equiv y + z - 1 = 0}$$