Posición relativa de recta y plano con parámetros

**a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$ en función de $m$. (1,5 puntos)** Para estudiar la posición relativa entre una recta y un plano, primero extraemos el vector normal del plano $\pi$ y el vector director de la recta $r$: - Vector normal al plano $\pi$: $\vec{n_\pi} = (5, m, 1)$ - Vector director de la recta $r$: $\vec{v_r} = (-1, -1, 2)$ - Punto de la recta $r$: $P_r = (1, 1, 0)$ La posición relativa depende del producto escalar entre estos dos vectores. Si el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares, lo que significa que la recta es paralela al plano o está contenida en él. $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (-1) \cdot 5 + (-1) \cdot m + 2 \cdot 1 = -5 - m + 2 = -m - 3$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar del vector director de la recta y el normal del plano es distinto de cero, la recta y el plano se cortan en un único punto (son secantes).

La recta y el plano serán secantes cuando el producto escalar sea distinto de cero: $$-m - 3 \neq 0 \implies m \neq -3$$ Si $m \neq -3$, el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano, por lo que la recta atraviesa el plano en un punto. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq -3, r \text{ y } \pi \text{ son secantes (se cortan en un punto)}}$$

Si $m = -3$, el producto escalar es cero, lo que implica que $\vec{v_r} \perp \vec{n_\pi}$. En este caso, la recta puede ser paralela al plano o estar contenida en él. Para distinguirlo, comprobamos si el punto $P_r(1, 1, 0)$ pertenece al plano $\pi \equiv 5x - 3y + z = 2$: Sustituimos $P_r$ en la ecuación del plano: $$5(1) - 3(1) + 0 = 5 - 3 = 2$$ Como $2 = 2$, el punto $P_r$ pertenece al plano. Al ser la recta paralela al plano y tener un punto en común, concluimos que la recta está íntegramente contenida en el plano. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = -3, r \text{ está contenida en } \pi \text{ (} r \subset \pi \text{)}}$$

**b) Para $m = 1$, calcular el plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. (1 punto)** Si $m = 1$, el plano es $\pi \equiv 5x + y + z = 2$, con vector normal $\vec{n_\pi} = (5, 1, 1)$. Buscamos un plano $\pi'$ que cumpla: 1. Contiene a $r$: Por tanto, el vector director $\vec{v_r} = (-1, -1, 2)$ es paralelo a $\pi'$ y el punto $P_r(1, 1, 0)$ pertenece a $\pi'$. 2. Perpendicular a $\pi$: El vector normal $\vec{n_\pi} = (5, 1, 1)$ también será paralelo al plano $\pi'$. El vector normal del nuevo plano $\vec{n_{\pi'}}$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{v_r}$ y $\vec{n_\pi}$. 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores (en este caso, el de la recta y el normal del plano perpendicular).

Calculamos $\vec{n_{\pi'}} = \vec{v_r} \times \vec{n_\pi}$ mediante el siguiente determinante: $$\vec{n_{\pi'}} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{n_{\pi'}} = [(-1) \cdot 1 - 2 \cdot 1]\mathbf{i} - [(-1) \cdot 1 - 2 \cdot 5]\mathbf{j} + [(-1) \cdot 1 - (-1) \cdot 5]\mathbf{k}$$ $$\vec{n_{\pi'}} = (-1 - 2)\mathbf{i} - (-1 - 10)\mathbf{j} + (-1 + 5)\mathbf{k}$$ $$\vec{n_{\pi'}} = -3\mathbf{i} + 11\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$$ Por tanto, el vector normal es $\vec{n_{\pi'}} = (-3, 11, 4)$.

Utilizamos el vector normal $\vec{n_{\pi'}} = (-3, 11, 4)$ y el punto $P_r(1, 1, 0)$ para hallar la ecuación del plano: $$-3(x - 1) + 11(y - 1) + 4(z - 0) = 0$$ Desarrollamos los paréntesis: $$-3x + 3 + 11y - 11 + 4z = 0$$ $$-3x + 11y + 4z - 8 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión: $$3x - 11y - 4z + 8 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\pi' \equiv 3x - 11y - 4z + 8 = 0}$$