Probabilidad condicionada y extracciones sin reemplazo

**a) Hallar la probabilidad de que sean de distinto color. (0,75 puntos)** Primero, definimos los sucesos para las extracciones: - $R_1, R_2$: Extraer bola roja en la 1ª y 2ª extracción respectivamente. - $B_1, B_2$: Extraer bola azul en la 1ª y 2ª extracción respectivamente. Contenido inicial de la urna: $4$ rojas ($R$) + $2$ azules ($B$) = $6$ bolas en total. Como las extracciones son **sin devolución**, el número total de bolas y la composición de la urna cambian en la segunda extracción. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En extracciones sin reemplazo, el denominador disminuye en cada paso ($6 \to 5$) y el numerador de la bola extraída también disminuye si es del mismo color.

Para que las bolas sean de distinto color, existen dos ramas favorables en el árbol: 1. La primera es roja y la segunda azul ($R_1, B_2$). 2. La primera es azul y la segunda roja ($B_1, R_2$). Calculamos la probabilidad sumando ambos caminos: $$P(\text{distinto color}) = P(R_1 \cap B_2) + P(B_1 \cap R_2)$$ $$P(\text{distinto color}) = \left( \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \right)$$ $$P(\text{distinto color}) = \frac{8}{30} + \frac{8}{30} = \frac{16}{30}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 2: $$\frac{16}{30} = \frac{8}{15} \approx 0,533$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{distinto color}) = \frac{8}{15} \approx 0,533}$$

**b) Hallar la probabilidad de que la segunda bola sea azul. (0,75 puntos)** Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso "la segunda bola es azul" ($B_2$) ocurre a través de dos caminos exclusivos: - Que la primera fuera roja y la segunda azul: $P(R_1 \cap B_2) = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{30}$. - Que la primera fuera azul y la segunda azul: $P(B_1 \cap B_2) = \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{30}$. Sumamos las probabilidades: $$P(B_2) = P(R_1 \cap B_2) + P(B_1 \cap B_2)$$ $$P(B_2) = \frac{8}{30} + \frac{2}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0,333$$ 💡 **Tip:** Fíjate que $P(B_2) = 1/3$ es igual a la probabilidad inicial de sacar azul ($2/6 = 1/3$). Esto siempre ocurre en extracciones sin reemplazo si no conocemos el resultado de las extracciones anteriores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B_2) = \frac{1}{3} \approx 0,333}$$

**c) Si la segunda bola es azul, hallar la probabilidad de que la primera sea roja. (1 punto)** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(R_1 | B_2)$. Según la definición de probabilidad condicionada: $$P(R_1 | B_2) = \frac{P(R_1 \cap B_2)}{P(B_2)}$$ Utilizamos los valores que ya hemos calculado en los apartados anteriores: - $P(R_1 \cap B_2) = \frac{8}{30}$ (probabilidad de que la 1ª sea roja y la 2ª azul). - $P(B_2) = \frac{10}{30}$ (probabilidad total de que la 2ª sea azul). Sustituimos en la fórmula: $$P(R_1 | B_2) = \frac{\frac{8}{30}}{\frac{10}{30}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$ Expresado en decimal: $$P(R_1 | B_2) = 0,8$$ 💡 **Tip:** El teorema de Bayes nos permite "ir hacia atrás" en el árbol, calculando la probabilidad de una causa dado un efecto observado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_1 | B_2) = \frac{4}{5} = 0,8}$$