Probabilidad de accidente según condiciones meteorológicas

**a) Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado. (1,25 puntos)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado: - $N$: El día está nublado. - $S$: El día está seco. - $A$: El autobús sufre un accidente. Extraemos las probabilidades del enunciado. De los 10 días del periodo: - $P(N) = \dfrac{3}{10} = 0,3$ - $P(S) = \dfrac{7}{10} = 0,7$ Las probabilidades condicionadas (probabilidad de accidente según el clima) son: - $P(A|N) = 0,09$ - $P(A|S) = 0,005$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos elementales (en este caso el clima) debe ser 1: $P(N) + P(S) = 0,3 + 0,7 = 1$.

Para visualizar mejor la situación, construimos un diagrama de árbol con las ramas de los sucesos y sus probabilidades asociadas:

Para responder a ambos apartados, primero necesitamos conocer la probabilidad total de que ocurra un accidente, $P(A)$, aplicando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(A) = P(N) \cdot P(A|N) + P(S) \cdot P(A|S)$$ Sustituimos los valores: $$P(A) = 0,3 \cdot 0,09 + 0,7 \cdot 0,005$$ $$P(A) = 0,027 + 0,0035$$ $$P(A) = 0,0305$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total suma todas las formas posibles en las que puede ocurrir el suceso $A$ (accidente en día nublado + accidente en día seco).

Para hallar $P(N|A)$, utilizamos el **Teorema de Bayes**, que nos permite calcular una probabilidad a posteriori: $$P(N|A) = \frac{P(N \cap A)}{P(A)} = \frac{P(N) \cdot P(A|N)}{P(A)}$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: $$P(N|A) = \frac{0,3 \cdot 0,09}{0,0305} = \frac{0,027}{0,0305}$$ Calculamos el resultado final: $$P(N|A) \approx 0,8852$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(N|A) = \frac{270}{305} \approx 0,8852}$$

**b) Hallar la probabilidad de que fuera en día seco. (1,25 puntos)** Podemos resolver este apartado de dos formas. La más directa es sabiendo que el día solo pudo ser nublado o seco (complementarios en este contexto): $$P(S|A) = 1 - P(N|A)$$ $$P(S|A) = 1 - 0,8852 = 0,1148$$ También podemos aplicar de nuevo el **Teorema de Bayes** para verificar: $$P(S|A) = \frac{P(S \cap A)}{P(A)} = \frac{0,7 \cdot 0,005}{0,0305}$$ $$P(S|A) = \frac{0,0035}{0,0305} = \frac{35}{305} \approx 0,1148$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(S|A) = \frac{35}{305} \approx 0,1148}$$