Vectores: Perpendicularidad, producto vectorial y volumen del paralelepípedo

**a) Determinar $a$ para que el vector $\vec{t} = (1, a, 0)$ sea perpendicular a $\vec{u}$. (0,75 puntos)** Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero. Por tanto, imponemos la condición $\vec{u} \cdot \vec{t} = 0$: $$\vec{u} \cdot \vec{t} = (3, -1, 5) \cdot (1, a, 0) = 0$$ Calculamos el producto escalar componente a componente: $$(3 \cdot 1) + (-1 \cdot a) + (5 \cdot 0) = 0$$ $$3 - a + 0 = 0$$ $$3 - a = 0 \implies a = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$. Si el resultado es cero, el ángulo entre ellos es de $90^\circ$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3}$$

**b) Determinar un vector $\vec{w}$ perpendicular a $\vec{u} = (3, -1, 5)$ y $\vec{v} = (2, 6, 0)$. (0,75 puntos)** Para encontrar un vector perpendicular a otros dos vectores dados, utilizamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$. Este producto nos garantiza un vector ortogonal a ambos simultáneamente. Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus o desarrollo por la primera fila: $$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 5 \\ 2 & 6 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i} (-1\cdot 0 - 5\cdot 6) - \vec{j} (3\cdot 0 - 5\cdot 2) + \vec{k} (3\cdot 6 - (-1)\cdot 2)$$ $$\vec{w} = \vec{i} (0 - 30) - \vec{j} (0 - 10) + \vec{k} (18 + 2)$$ $$\vec{w} = -30\vec{i} + 10\vec{j} + 20\vec{k}$$ Por lo tanto, un vector posible es $\vec{w} = (-30, 10, 20)$. También se podría simplificar (por ejemplo, dividiendo entre 10), pero este resultado es totalmente válido. 💡 **Tip:** El producto vectorial no es conmutativo, $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$. Cualquiera de los dos sentidos es perpendicular. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{w} = (-30, 10, 20)}$$

**c) Dados $\vec{u} = (3, -1, 5)$, $\vec{v} = (2, 6, 0)$ y $\vec{w} = (-3, 1, 2)$. Determinar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$. (1 punto)** El volumen del paralelepípedo definido por tres vectores es igual al valor absoluto de su producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$, que coincide con el determinante de la matriz formada por los tres vectores. $$V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = |\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})|$$ Calculamos el determinante de la matriz: $$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 2 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\text{det} = (3 \cdot 6 \cdot 2) + (-1 \cdot 0 \cdot (-3)) + (5 \cdot 2 \cdot 1) - [ (5 \cdot 6 \cdot (-3)) + (-1 \cdot 2 \cdot 2) + (3 \cdot 0 \cdot 1) ]$$ $$\text{det} = (36 + 0 + 10) - [ -90 - 4 + 0 ]$$ $$\text{det} = 46 - (-94) = 46 + 94 = 140$$ Como el volumen es el valor absoluto: $$V = |140| = 140 \text{ unidades}^3$$ 💡 **Tip:** Si el producto mixto resultara 0, significaría que los tres vectores son coplanarios (están en el mismo plano) y no forman un sólido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 140 \text{ u}^3}$$