Posición relativa e intersección de rectas con parámetros

**a) Comprobar que las rectas $r$ y $s$ se cortan para cualquier valor de $m$. (1,5 puntos)** En primer lugar, extraemos de las ecuaciones en forma continua un punto y un vector director de cada recta: Para la recta $r$: - Punto $P_r = (0, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (4, -2, 2)$ Para la recta $s$: - Punto $P_s = (1, m, 3)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, m-1, 3)$ Calculamos también el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_s} = (1-0, m-1, 3-0) = (1, m-1, 3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para extraer un punto de la forma continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, los valores $(x_0, y_0, z_0)$ son las coordenadas del punto y $(u_1, u_2, u_3)$ las del vector director.

Para que dos rectas se corten, deben ser coplanarias (estar en el mismo plano) y no ser paralelas. Comprobamos si son coplanarias analizando el determinante formado por sus vectores directores y el vector unión $\vec{P_r P_s}$: $$|\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})| = \begin{vmatrix} 4 & -2 & 2 \\ 1 & m-1 & 3 \\ 1 & m-1 & 3 \end{vmatrix}$$ Observamos que la segunda y la tercera fila son idénticas. Por las propiedades de los determinantes, si dos filas son iguales, el determinante es **cero** independientemente del valor de $m$. $$|\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})| = 0 \quad \forall m \in \mathbb{R}$$ Como el determinante es cero, el rango de la matriz formada por los tres vectores es menor que 3, lo que significa que los vectores son linealmente dependientes y las rectas son **coplanarias**. 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, las rectas pueden ser coincidentes, paralelas o secantes. Si es distinto de cero, se cruzan en el espacio.

Ahora verificamos si pueden ser paralelas comparando sus vectores directores $\vec{v}_r = (4, -2, 2)$ y $\vec{v}_s = (1, m-1, 3)$. Para que fuesen paralelos, sus coordenadas deberían ser proporcionales: $$\frac{4}{1} = \frac{-2}{m-1} = \frac{2}{3}$$ Claramente $\frac{4}{1} \neq \frac{2}{3}$, por lo que los vectores directores **no son proporcionales** para ningún valor de $m$. Esto implica que las rectas no son paralelas ni coincidentes. Como las rectas son coplanarias y no paralelas: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan en un punto para cualquier valor de } m.}$$

**b) Para $m = 6$ hallar el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$. (1 punto)** Si $m = 6$, las rectas son: $r \equiv \frac{x}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z}{2}$ $s \equiv x-1 = \frac{y-6}{5} = \frac{z-3}{3}$ Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas usando un parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x = 4\lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación de la recta $s$ para encontrar el valor de $\lambda$ en el punto de corte.

Sustituimos $x$, $y$ y $z$ en la primera y tercera parte de la igualdad de la recta $s$: $$x - 1 = \frac{z - 3}{3} \implies 4\lambda - 1 = \frac{2\lambda - 3}{3}$$ Multiplicamos por 3: $$3(4\lambda - 1) = 2\lambda - 3 \implies 12\lambda - 3 = 2\lambda - 3$$ $$10\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Comprobamos si este valor cumple también la igualdad con la coordenada $y$ en $s$: $$x - 1 = \frac{y - 6}{5} \implies 4(0) - 1 = \frac{(1 - 2(0)) - 6}{5}$$ $$-1 = \frac{1 - 6}{5} \implies -1 = \frac{-5}{5} = -1$$ Como se cumplen todas las igualdades, el punto de intersección se obtiene sustituyendo $\lambda = 0$ en las paramétricas de $r$: $$x = 4(0) = 0$$ $$y = 1 - 2(0) = 1$$ $$z = 2(0) = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(0, 1, 0)}$$