Estudio de función exponencial y cálculo de áreas

**a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.** En primer lugar, analizamos el **dominio**. La función $f(x) = 2xe^{-2x^2}$ es el producto de un polinomio y una función exponencial compuesta. Ambas funciones son continuas y están definidas para cualquier valor de $x$ real. $$\text{Dominio} = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$$ Para estudiar la monotonía, calculamos la **primera derivada** usando la regla del producto y la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x) \cdot e^{-2x^2} + 2x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-2x^2})$$ $$f'(x) = 2 \cdot e^{-2x^2} + 2x \cdot \left( e^{-2x^2} \cdot (-4x) \right)$$ $$f'(x) = 2e^{-2x^2} - 8x^2e^{-2x^2}$$ $$f'(x) = (2 - 8x^2) e^{-2x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$. En este caso, $g(x) = -2x^2$, por lo que $g'(x) = -4x$. $$\boxed{f'(x) = (2 - 8x^2) e^{-2x^2}}$$

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$(2 - 8x^2) e^{-2x^2} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-2x^2}$ nunca es cero (siempre es positiva), debe cumplirse que: $$2 - 8x^2 = 0 \implies 8x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos críticos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - La función es **creciente** en $(-1/2, 1/2)$. - La función es **decreciente** en $(-\infty, -1/2) \cup (1/2, +\infty)$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-1/2, 1/2), \quad \text{Decrecimiento: } (-\infty, -1/2) \cup (1/2, +\infty)}$$

A partir del estudio de la monotonía, identificamos los extremos relativos evaluando la función original en los puntos críticos: 1. **Mínimo relativo:** En $x = -1/2$, la función pasa de decrecer a crecer. $$f(-1/2) = 2(-1/2)e^{-2(-1/2)^2} = -1 \cdot e^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{e}}$$ 2. **Máximo relativo:** En $x = 1/2$, la función pasa de crecer a decrecer. $$f(1/2) = 2(1/2)e^{-2(1/2)^2} = 1 \cdot e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo: } \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{e}}\right), \quad \text{Máximo: } \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)}$$

- **Asíntotas Verticales:** No existen, ya que el dominio es $\mathbb{R}$ y la función es continua. - **Asíntotas Horizontales:** Calculamos los límites en el infinito. Presentan una indeterminación del tipo $[\infty \cdot 0]$, que reescribimos como $[\infty/\infty]$ para aplicar la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} 2xe^{-2x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^{2x^2}} \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^{2x^2} \cdot 4x} = \frac{2}{\infty} = 0$$ De forma análoga, para $x \to -\infty$, el límite es $0$. Existe una **asíntota horizontal en $y = 0$**. - **Asíntotas Oblicuas:** No existen al haber una asíntota horizontal. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay}, \quad \text{AH: } y=0, \quad \text{AO: No hay}}$$

**b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$.** Observamos que en el intervalo $[0, 2]$, la función $f(x) = 2xe^{-2x^2}$ siempre es mayor o igual que cero (pues $x \ge 0$ y $e^{-2x^2} > 0$). Por tanto, el área es la integral definida: $$\text{Área} = \int_{0}^{2} 2xe^{-2x^2} \, dx$$ Para integrar, observamos que la derivada de $-2x^2$ es $-4x$. Ajustamos la integral para obtener una integral inmediata del tipo $\int g'(x)e^{g(x)}dx = e^{g(x)} + C$: $$\int 2xe^{-2x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int (-4x)e^{-2x^2} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x^2} + C$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 2]$: $$\text{Área} = \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x^2} \right]_{0}^{2} = \left( -\frac{1}{2} e^{-2(2)^2} \right) - \left( -\frac{1}{2} e^{-2(0)^2} \right)$$ $$\text{Área} = -\frac{1}{2} e^{-8} + \frac{1}{2} e^{0} = -\frac{1}{2}e^{-8} + \frac{1}{2}$$ Factorizando: $$\text{Área} = \frac{1}{2} (1 - e^{-8}) \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** No olvides que $e^0 = 1$. El resultado es aproximadamente $0.4998$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{1}{2}(1 - e^{-8}) \text{ unidades}^2}$$