Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) Calcular la matriz $M = A^t A - B B^t$, donde $A^t$ y $B^t$ representan las matrices transpuestas de $A$ y $B$, respectivamente. (1 punto)** Para comenzar, calculamos las matrices transpuestas $A^t$ y $B^t$. Recuerda que trasponer una matriz consiste en intercambiar sus filas por sus columnas. Dada $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, su transpuesta es: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Dada $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, su transpuesta (que será una matriz fila) es: $$B^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si una matriz es de dimensión $m \times n$, su transpuesta siempre será de dimensión $n \times m$.

Calculamos por separado los dos productos de la expresión $M = A^t A - B B^t$. Primero, realizamos el producto $A^t A$: $$A^t A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) + (-1)(-1) & (1)(1) + (-1)(-1) \\ (1)(1) + (-1)(-1) & (1)(1) + (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Segundo, realizamos el producto $B B^t$: $$B B^t = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(0) & (0)(1) \\ (1)(0) & (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. El elemento $(i,j)$ del resultado es el producto escalar de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Restamos los resultados obtenidos en el paso anterior para hallar $M$: $$M = A^t A - B B^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 & 2-0 \\ 2-0 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que, curiosamente, el resultado es igual a la matriz $N$ del enunciado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Hallar la matriz $X$ que cumple la igualdad $XN = C$. (1,5 puntos)** Para despejar $X$ en la ecuación $XN = C$, debemos multiplicar por la derecha por la inversa de $N$, es decir, $N^{-1}$, siempre que esta exista. $$XN = C \implies XNN^{-1} = CN^{-1} \implies X I = CN^{-1} \implies X = CN^{-1}$$ Primero comprobamos si $N$ es invertible calculando su determinante: $$|N| = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (2)(2) = 2 - 4 = -2$$ Como $|N| = -2 \neq 0$, la matriz **$N$ es invertible** y podemos proceder con el cálculo. 💡 **Tip:** En las ecuaciones matriciales el orden importa. Como $N$ está a la derecha de $X$, debemos multiplicar por $N^{-1}$ por la derecha en ambos miembros.

Calculamos la inversa de $N$ usando la fórmula $N^{-1} = \frac{1}{|N|} \text{Adj}(N)^t$. 1. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(N)$: $$\text{Adj}(N) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Hallamos la traspuesta de la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(N)^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante $|N| = -2$: $$N^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\text{Adj}(A)^t$ se obtiene rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo a los de la diagonal secundaria.

Finalmente, calculamos $X$ multiplicando $C$ por $N^{-1}$: $$X = C N^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones fila por columna: - Fila 1: $\begin{pmatrix} 2(-1/2) + (-2)(1) & 2(1) + (-2)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-2 & 2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 4 \end{pmatrix}$ - Fila 2: $\begin{pmatrix} (-2)(-1/2) + 2(1) & (-2)(1) + 2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 & -2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -4 \end{pmatrix}$ - Fila 3: $\begin{pmatrix} 4(-1/2) + 4(1) & 4(1) + 4(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+4 & 4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 3 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}}$$