Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $m$, indicando el número de soluciones en cada caso. (1,5 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} m & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} m & 2 & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 & m \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (m \cdot m \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot 5) + (1 \cdot 2 \cdot 2) - (1 \cdot m \cdot 5) - (2 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot m \cdot 2)$$ $$|A| = m^2 + 10 + 4 - 5m - 4 - 2m = m^2 - 7m + 10$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $m$: $$m^2 - 7m + 10 = 0 \implies m = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \implies \begin{cases} m = 5 \\ m = 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz de orden 3 nos permite conocer si el rango es máximo (3) o menor que 3. Si $|A| \neq 0$, el rango es 3.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los diferentes casos: **Caso 1: $m \neq 2$ y $m \neq 5$** Si $m$ es distinto de $2$ y $5$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^\circ \text{ incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)** y tiene una **solución única**. **Caso 2: $m = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 10 = -6 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Sin embargo, si observamos las dos primeras filas del sistema para $m=2$, tenemos $2x+2y+z=1$ y $2x+2y+z=2$, lo cual es una contradicción. Formalmente, calculamos un menor de orden 3 de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2+10+2) - (5+4+2) = 14 - 11 = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)** y **no tiene solución**. **Caso 3: $m = 5$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ Notamos que la fila 1 y la fila 3 son idénticas ($F_1 = F_3$). Por tanto, el rango de la matriz ampliada será igual al de la matriz de coeficientes. Como el menor $\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 25 - 4 = 21 \neq 0$, entonces: $$\text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A^*) \lt n^\circ \text{ incógnitas} (3)$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** y tiene **infinitas soluciones**.

Concluimos la discusión del sistema: - Si **$m \in \mathbb{R} \setminus \{2, 5\}$**, el sistema es **Compatible Determinado** (solución única). - Si **$m = 2$**, el sistema es **Incompatible** (sin solución). - Si **$m = 5$**, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado final de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 2, 5 & \text{SCD (Solución única)} \\ m = 2 & \text{SI (Sin solución)} \\ m = 5 & \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $m = 3$. (1 punto)** Para $m = 3$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos el valor en el sistema: $$\begin{cases} (1) \quad 3x + 2y + z = 1 \\ (2) \quad 2x + 3y + z = 3 \\ (3) \quad 5x + 2y + z = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo de forma eficiente, restamos la ecuación (1) a la ecuación (3): $$(3) - (1) \implies (5x + 2y + z) - (3x + 2y + z) = 1 - 1$$ $$2x = 0 \implies \mathbf{x = 0}$$ Sustituimos $x = 0$ en las ecuaciones (1) y (2): $$\begin{cases} 2y + z = 1 \\ 3y + z = 3 \end{cases}$$ Restamos ahora estas dos nuevas ecuaciones para eliminar $z$: $$(3y + z) - (2y + z) = 3 - 1$$ $$\mathbf{y = 2}$$ Finalmente, sustituimos $y = 2$ en $2y + z = 1$: $$2(2) + z = 1 \implies 4 + z = 1 \implies \mathbf{z = -3}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar el resultado sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales. Por ejemplo, en la segunda: $2(0) + 3(2) + (-3) = 6 - 3 = 3$, lo cual es correcto. ✅ **Resultado (solución para m = 3):** $$\boxed{x = 0, \quad y = 2, \quad z = -3}$$