Probabilidad en un grupo de judo

**a) ¿Qué porcentaje de hombres son cinturón verde? (1 punto)** Primero, definimos los sucesos principales y traducimos los datos del enunciado a probabilidades: - $M$: El alumno es mujer. $P(M) = 0,55$. - $H$: El alumno es hombre. Como el resto son hombres, $P(H) = 1 - 0,55 = 0,45$. - $V$: El alumno es cinturón verde. $P(V) = 0,15$. - $\bar{V}$: El alumno no es cinturón verde. El enunciado indica que una quinta parte de las mujeres es cinturón verde. Esto es una probabilidad condicionada: $$P(V|M) = \frac{1}{5} = 0,20$$ Podemos representar la situación mediante un árbol de probabilidad, donde llamaremos $x$ a la probabilidad de que un hombre sea cinturón verde, es decir, $x = P(V|H)$:

Para hallar $P(V|H)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, que nos dice que la probabilidad de ser cinturón verde es la suma de las probabilidades de ser mujer y cinturón verde, y ser hombre y cinturón verde: $$P(V) = P(M \cap V) + P(H \cap V)$$ $$P(V) = P(M) \cdot P(V|M) + P(H) \cdot P(V|H)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0,15 = (0,55 \cdot 0,20) + (0,45 \cdot x)$$ $$0,15 = 0,11 + 0,45x$$ Despejamos $x$: $$0,15 - 0,11 = 0,45x \implies 0,04 = 0,45x$$ $$x = \frac{0,04}{0,45} = \frac{4}{45} \approx 0,0889$$ Para expresar el resultado como porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,0889 \cdot 100 = 8,89\%$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo debe ser siempre 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{8,89\% \text{ de los hombres son cinturón verde}}$$

**b) Si el grupo recibe un mensaje enviado por un cinturón verde, calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer. (0,75 puntos)** Se nos pide calcular $P(M|V)$. Como conocemos la probabilidad a priori $P(V|M)$, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|V) = \frac{P(M \cap V)}{P(V)} = \frac{P(M) \cdot P(V|M)}{P(V)}$$ Ya conocemos todos los términos: - $P(M \cap V) = 0,55 \cdot 0,20 = 0,11$ - $P(V) = 0,15$ Sustituimos: $$P(M|V) = \frac{0,11}{0,15} = \frac{11}{15} \approx 0,7333$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para "invertir" la condición, es decir, para hallar la probabilidad de una causa dado un efecto observado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|V) = \frac{11}{15} \approx 0,7333}$$

**c) Si el mensaje no tiene información sobre el sexo y el color del cinturón del remitente, calcular la probabilidad de que sea hombre y cinturón verde. (0,75 puntos)** En este apartado se nos pide la probabilidad de la intersección entre ser hombre y ser cinturón verde, es decir, $P(H \cap V)$. Podemos calcularlo directamente con los datos obtenidos en el primer paso del Teorema de la Probabilidad Total: $$P(H \cap V) = P(H) \cdot P(V|H)$$ De los pasos anteriores sabemos que $P(H) = 0,45$ y $P(V|H) = \frac{4}{45}$: $$P(H \cap V) = 0,45 \cdot \frac{4}{45} = 0,04$$ Alternativamente, utilizando los datos de $P(V)$ y $P(M \cap V)$: $$P(H \cap V) = P(V) - P(M \cap V) = 0,15 - 0,11 = 0,04$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de la intersección $A \cap B$ representa la probabilidad de que ambos sucesos ocurran simultáneamente en el total de la población. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H \cap V) = 0,04}$$