Distribución Normal: Tamaño de las truchas

**a) Calcular el porcentaje de truchas cuyo tamaño está entre $19 \text{ cm}$ y $40 \text{ cm}$.** Queremos calcular la probabilidad $P(19 \lt X \lt 40)$. Como $X$ sigue una distribución $N(28, 6)$, el primer paso es tipificar los valores para poder usar la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: * Para $x_1 = 19$: $z_1 = \dfrac{19 - 28}{6} = \dfrac{-9}{6} = -1.5$ * Para $x_2 = 40$: $z_2 = \dfrac{40 - 28}{6} = \dfrac{12}{6} = 2$ Por tanto, la probabilidad buscada es: $$P(19 \lt X \lt 40) = P(-1.5 \lt Z \lt 2)$$ 💡 **Tip:** Tipificar consiste en restar la media y dividir por la desviación típica: $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$. Esto nos permite comparar cualquier normal con la tabla estándar.

Utilizamos las propiedades de la distribución normal para descomponer el intervalo: $$P(-1.5 \lt Z \lt 2) = P(Z \lt 2) - P(Z \lt -1.5)$$ Como la tabla solo ofrece valores positivos, aplicamos la simetría para el valor negativo: * $P(Z \lt 2) = 0.9772$ * $P(Z \lt -1.5) = P(Z \gt 1.5) = 1 - P(Z \le 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(19 \lt X \lt 40) = 0.9772 - 0.0668 = 0.9104$$ Para expresar el resultado como **porcentaje**, multiplicamos por 100: $$0.9104 \cdot 100 = 91.04\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{91.04\%}$$

**b) Sabiendo que una de las truchas capturadas medía más de $38 \text{ cm}$, ¿cuál es la probabilidad de que midiera más de $42 \text{ cm}$?** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada. Si llamamos $A$ al suceso "medir más de $42 \text{ cm}$" ($X \gt 42$) y $B$ al suceso "medir más de $38 \text{ cm}$" ($X \gt 38$), buscamos $P(A|B)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(X \gt 42 \mid X \gt 38) = \frac{P(X \gt 42 \cap X \gt 38)}{P(X \gt 38)}$$ Como cualquier trucha que mida más de $42 \text{ cm}$ ya mide obligatoriamente más de $38 \text{ cm}$, la intersección de ambos sucesos es simplemente $X \gt 42$: $$P(X \gt 42 \mid X \gt 38) = \frac{P(X \gt 42)}{P(X \gt 38)}$$ 💡 **Tip:** En probabilidades condicionadas con intervalos del tipo $X \gt a$ y $X \gt b$, si $a \gt b$, entonces $P(X \gt a \cap X \gt b) = P(X \gt a)$.

Calculamos por separado el numerador y el denominador tipificando la variable: 1. **Denominador $P(X \gt 38)$:** $$z = \frac{38 - 28}{6} = \frac{10}{6} \approx 1.67$$ $$P(X \gt 38) = P(Z \gt 1.67) = 1 - P(Z \le 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475$$ 2. **Numerador $P(X \gt 42)$:** $$z = \frac{42 - 28}{6} = \frac{14}{6} \approx 2.33$$ $$P(X \gt 42) = P(Z \gt 2.33) = 1 - P(Z \le 2.33) = 1 - 0.9901 = 0.0099$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \gt a) = 1 - P(Z \le a)$ para poder buscar en la tabla.

Sustituimos los valores en la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(X \gt 42 \mid X \gt 38) = \frac{0.0099}{0.0475}$$ Realizamos la división: $$P(X \gt 42 \mid X \gt 38) \approx 0.2084$$ La probabilidad de que una trucha mida más de $42 \text{ cm}$ dado que ya mide más de $38 \text{ cm}$ es de aproximadamente $0.2084$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.2084}$$