Estudio de función exponencial y cálculo de área

**a) Dominio, crecimiento/decrecimiento, extremos y asíntotas.** La función $f(x) = x^2 e^{-x}$ es el producto de una función polinómica ($x^2$) y una función exponencial ($e^{-x}$). Ambas son continuas y están definidas para cualquier valor de $x$ perteneciente a los números reales. Por tanto, el dominio es: $$D(f) = \mathbb{R} = (-\infty, \infty)$$ 💡 **Tip:** Las funciones polinómicas, exponenciales, senos y cosenos tienen como dominio todos los números reales siempre que sus exponentes o argumentos no tengan restricciones adicionales.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$ aplicando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})'$$ $$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = (2x - x^2)e^{-x}$$ $$f'(x) = x(2 - x)e^{-x}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$x(2 - x)e^{-x} = 0$$ Dado que la exponencial $e^{-x}$ nunca se anula ($e^{-x} \gt 0$ para todo $x$), las soluciones son: $$x = 0 \quad \text{y} \quad x = 2$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array} $$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente: } (-\infty, 0) \cup (2, \infty); \quad \text{Creciente: } (0, 2)}$$

Basándonos en el estudio de la monotonía: - En $x = 0$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. - En $x = 2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos las ordenadas correspondientes: - Para $x = 0$: $f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \Rightarrow \mathbf{(0, 0)}$ - Para $x = 2$: $f(2) = 2^2 \cdot e^{-2} = 4e^{-2} = \dfrac{4}{e^2} \Rightarrow \mathbf{(2, \dfrac{4}{e^2})}$ ✅ **Resultado (extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo: } (0, 0); \quad \text{Máximo relativo: } \left(2, \dfrac{4}{e^2}\right)}$$

**Asíntotas Verticales (AV):** No existen, ya que la función es continua en todo $\mathbb{R}$. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites en el infinito: 1. Por la derecha ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital dos veces: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$$ Hay una **asíntota horizontal en $y = 0$** cuando $x \to +\infty$. 2. Por la izquierda ($x \to -\infty$): $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = (-\infty)^2 \cdot e^{\infty} = \infty \cdot \infty = \infty$$ No hay asíntota horizontal por la izquierda. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al haber horizontal hacia $+\infty$, no hay oblicua en esa rama. Hacia $-\infty$, el límite $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = -\infty$, por lo que tampoco existe AO. 💡 **Tip:** Recuerda que si existe asíntota horizontal en un sentido del infinito, no puede existir asíntota oblicua en ese mismo sentido. ✅ **Resultado (asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay}; \quad \text{AH: } y = 0 \text{ (en } +\infty); \quad \text{AO: No hay}}$$

**b) Cálculo del área en el intervalo $[0, 2]$.** El área viene dada por $A = \int_{0}^{2} x^2 e^{-x} dx$. Primero resolvemos la integral indefinida usando el método de **integración por partes** $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. **Primera aplicación:** $u = x^2 \Rightarrow du = 2x \, dx$ $dv = e^{-x} dx \Rightarrow v = -e^{-x}$ $$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$$ **Segunda aplicación** (para $\int x e^{-x} dx$): $u = x \Rightarrow du = dx$ $dv = e^{-x} dx \Rightarrow v = -e^{-x}$ $$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -(x + 1)e^{-x}$$ Sustituimos el resultado en la primera expresión: $$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2[-(x + 1)e^{-x}] = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$$ 💡 **Tip:** En la integración por partes de polinomios por exponenciales, el polinomio siempre se elige como $u$ para que su grado disminuya al derivar.

Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[0, 2]$: $$A = \left[ -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} \right]_0^2$$ $$A = [-(2^2 + 2 \cdot 2 + 2)e^{-2}] - [-(0^2 + 2 \cdot 0 + 2)e^{0}]$$ $$A = [-10e^{-2}] - [-2 \cdot 1]$$ $$A = -\frac{10}{e^2} + 2 = 2 - \frac{10}{e^2}$$ Valor numérico aproximado: $A \approx 2 - \frac{10}{7.389} \approx 2 - 1.353 = 0.647 \text{ u}^2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 2 - \dfrac{10}{e^2} \approx 0.647 \text{ unidades cuadradas}}$$