Área entre función y tangente. Cálculo de límites

**a) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$ y su recta tangente en el punto $x = 1$.** Primero, calculamos el punto de tangencia evaluando la función en $x = 1$: $$f(1) = 12(1) + 3(1)^2 - 2(1)^3 = 12 + 3 - 2 = 13$$ El punto de tangencia es $(1, 13)$. Ahora calculamos la pendiente de la recta tangente mediante la derivada: $$f'(x) = 12 + 6x - 6x^2$$ Evaluamos en $x = 1$: $$m = f'(1) = 12 + 6(1) - 6(1)^2 = 12 + 6 - 6 = 12$$ Usamos la fórmula de la recta tangente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - 13 = 12(x - 1) \implies y = 12x - 12 + 13 \implies y = 12x + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la recta tangente siempre pasa por el punto $(a, f(a))$ y tiene como pendiente el valor de la derivada $f'(a)$. $$\boxed{L(x) = 12x + 1}$$

Para hallar los límites de integración del área, igualamos la función $f(x)$ y la recta tangente $L(x)$: $$12x + 3x^2 - 2x^3 = 12x + 1$$ Reordenamos la ecuación: $$-2x^3 + 3x^2 - 1 = 0 \implies 2x^3 - 3x^2 + 1 = 0$$ Sabemos que $x = 1$ es una solución (por ser el punto de tangencia, debe ser además una raíz doble). Podemos factorizar usando la regla de Ruffini o sabiendo que $(x - 1)^2$ es factor: $$(x - 1)^2 (2x + 1) = 0$$ Las soluciones son: - $x = 1$ (raíz doble) - $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$ 💡 **Tip:** En un punto de tangencia, la diferencia entre las funciones siempre presenta una raíz de multiplicidad par (normalmente doble). $$\boxed{x = -1/2, \quad x = 1}$$

El área es la integral de la diferencia entre las funciones en el intervalo $[-1/2, 1]$: $$A = \int_{-1/2}^{1} |(12x + 3x^2 - 2x^3) - (12x + 1)| \, dx = \int_{-1/2}^{1} |-2x^3 + 3x^2 - 1| \, dx$$ Para evitar el valor absoluto, observamos que en el intervalo $[-0.5, 1]$, la recta $L(x)$ está por encima de la función $f(x)$: $$A = \int_{-1/2}^{1} ((12x + 1) - (12x + 3x^2 - 2x^3)) \, dx = \int_{-1/2}^{1} (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx$$ Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ \frac{2x^4}{4} - \frac{3x^3}{3} + x \right]_{-1/2}^{1} = \left[ \frac{x^4}{2} - x^3 + x \right]_{-1/2}^{1}$$ $$A = \left( \frac{1}{2} - 1 + 1 \right) - \left( \frac{(-1/2)^4}{2} - (-1/2)^3 + (-1/2) \right)$$ $$A = \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{32} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \right) = \frac{16}{32} - \left( \frac{1 + 4 - 16}{32} \right) = \frac{16}{32} - \left( -\frac{11}{32} \right) = \frac{27}{32}$$ 💡 **Tip:** Al aplicar Barrow, asegúrate de proteger con paréntesis el sustraendo para no cometer errores con los signos negativos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{27}{32} \text{ u}^2 \approx 0.844 \text{ u}^2}$$

**b) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x \cdot f(x)}$** Sustituimos $f(x)$ en el denominador: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x(12x + 3x^2 - 2x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{12x^2 + 3x^3 - 2x^4}$$ Al evaluar en $x = 0$: $$\frac{\ln(1+0^2)}{12(0)^2 + 3(0)^3 - 2(0)^4} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$**, por lo que aplicaremos la Regla de L'Hôpital. 💡 **Tip:** Antes de derivar, simplifica el denominador factorizando si es posible, aunque en este caso aplicaremos la regla directamente sobre el polinomio expandido.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{12x^2 + 3x^3 - 2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{24x + 9x^2 - 8x^3}$$ Reorganizamos la fracción para facilitar el cálculo: $$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{(1+x^2)(24x + 9x^2 - 8x^3)}$$ Podemos simplificar una $x$ del numerador y del denominador (ya que $x \to 0$ pero $x \neq 0$): $$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{(1+x^2) \cdot x \cdot (24 + 9x - 8x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{(1+x^2)(24 + 9x - 8x^2)}$$ Ahora evaluamos sustituyendo $x = 0$: $$\frac{2}{(1 + 0^2)(24 + 9(0) - 8(0)^2)} = \frac{2}{1 \cdot 24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$$ 💡 **Tip:** Si tras aplicar L'Hôpital sigues obteniendo $0/0$, puedes volver a aplicarlo o simplificar algebraicamente como hemos hecho aquí. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{1}{12}}$$