Discusión de sistemas con parámetros y propiedades de matrices

**a) Discusión del sistema y resolución para $k = -1$** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes ($M$) y la matriz ampliada ($M'$) asociada al sistema: $$M = \begin{pmatrix} k & -1 & -1 \\ 1 & k & 2k \end{pmatrix} \quad ; \quad M' = \left(\begin{array}{ccc|c} k & -1 & -1 & 1 \\ 1 & k & 2k & k \end{array}\right)$$ El sistema tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas ($n=3$). Por tanto, el rango máximo posible para $M$ y $M'$ es 2. Para determinar el rango de $M$, buscamos un menor de orden 2. Tomamos las dos primeras columnas y calculamos su determinante: $$\begin{vmatrix} k & -1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k^2 - (-1) = k^2 + 1$$ Analizamos cuándo este determinante es cero: $k^2 + 1 = 0 \implies k^2 = -1$. Como estamos trabajando con números reales ($k \in \mathbb{R}$), esta ecuación no tiene solución. Por lo tanto, $k^2 + 1 \ge 1$ para cualquier valor de $k$. 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de un cuadrado más un número positivo siempre es mayor que cero en el cuerpo de los reales. $$\boxed{\text{rango}(M) = 2 \text{ para todo } k \in \mathbb{R}}$$

Una vez analizado el rango de la matriz de coeficientes, comparamos con el de la matriz ampliada y el número de incógnitas: 1. $\text{rango}(M) = 2$ para cualquier $k \in \mathbb{R}$. 2. $\text{rango}(M') = 2$ obligatoriamente, ya que $M'$ contiene a $M$ y solo tiene 2 filas (el rango no puede superar el número de filas). 3. El número de incógnitas es $n = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: Como $\text{rango}(M) = \text{rango}(M') = 2 \lt n$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** para todos los valores de $k$. Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones con $n - r = 3 - 2 = 1$ grado de libertad (necesitaremos un parámetro). ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{SCI para todo } k \in \mathbb{R}}$$

Sustituimos $k = -1$ en las ecuaciones originales: $$\begin{cases} -x - y - z = 1 \\ x - y - 2z = -1 \end{cases}$$ Para resolverlo, sumamos ambas ecuaciones para eliminar la incógnita $x$: $$(-x - y - z) + (x - y - 2z) = 1 + (-1)$$ $$-2y - 3z = 0 \implies -2y = 3z \implies y = -\frac{3}{2}z$$ Ahora, sustituimos este valor de $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$-x - \left(-\frac{3}{2}z\right) - z = 1 \implies -x + \frac{3}{2}z - z = 1$$ $$-x + \frac{1}{2}z = 1 \implies x = \frac{1}{2}z - 1$$ Si parametrizamos haciendo $z = \lambda$ (donde $\lambda \in \mathbb{R}$), obtenemos la solución general: ✅ **Resultado (Solución para k = -1):** $$\boxed{(x, y, z) = \left(-1 + \frac{1}{2}\lambda, -\frac{3}{2}\lambda, \lambda\right) \text{ para todo } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Demostración sobre la matriz $A$** Se nos da la igualdad matricial: $A^2 = I + 3A$. Para demostrar que $\det(A) \neq 0$, demostraremos que la matriz $A$ es invertible (posee inversa). Manipulamos la igualdad para intentar sacar factor común la matriz $A$: $$A^2 - 3A = I$$ Factorizamos $A$ por la izquierda: $$A(A - 3I) = I$$ Por la definición de matriz inversa, si existe una matriz $B$ tal que $A \cdot B = I$, entonces $A$ es invertible y $B = A^{-1}$. En este caso, hemos encontrado que existe la matriz $B = A - 3I$. Como $A$ es invertible, por las propiedades de los determinantes, su determinante debe ser distinto de cero: $$\det(A) \cdot \det(A - 3I) = \det(I) = 1 \implies \det(A) \neq 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo.

A partir de la expresión obtenida en el paso anterior: $$A(A - 3I) = I$$ Comparando con la definición teórica $A \cdot A^{-1} = I$, identificamos directamente el término que multiplica a $A$ como su inversa. Por tanto, la expresión de $A^{-1}$ en función de $A$ e $I$ es: ✅ **Resultado (Matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = A - 3I}$$