Distribución Normal y Probabilidad Condicionada

**a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de 190 cm.** Definimos la variable aleatoria $X$ como la altura en cm de una persona de la población. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu=170, \sigma=16)$$ Para calcular probabilidades en una normal distinta a la estándar, debemos realizar la **tipificación** de la variable mediante el cambio: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 170}{16}$$ Buscamos $P(X \gt 190)$: $$P(X \gt 190) = P\left( Z \gt \frac{190 - 170}{16} \right) = P\left( Z \gt \frac{20}{16} \right) = P(Z \gt 1.25)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para tipificar restamos la media y dividimos por la desviación típica. La variable $Z$ resultante sigue una $N(0, 1)$.

Como las tablas de la normal estándar suelen darnos el área hacia la izquierda, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 1.25) = 1 - P(Z \le 1.25)$$ Consultamos en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor para $Z = 1.25$: $$P(Z \le 1.25) = 0.8944$$ Sustituimos: $$P(X \gt 190) = 1 - 0.8944 = 0.1056$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(X \gt 190) = 0.1056}$$

**b) [1 punto] Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar mida entre 160 y 190 cm.** Buscamos $P(160 \lt X \lt 190)$. Tipificamos ambos extremos de la desigualdad: $$P\left( \frac{160 - 170}{16} \lt Z \lt \frac{190 - 170}{16} \right) = P(-0.625 \lt Z \lt 1.25)$$ Descomponemos la probabilidad del intervalo como la resta de las áreas acumuladas: $$P(-0.625 \lt Z \lt 1.25) = P(Z \lt 1.25) - P(Z \lt -0.625)$$ Por simetría de la normal: $P(Z \lt -0.625) = 1 - P(Z \le 0.625)$. Buscamos los valores en la tabla. Para $0.625$, tomamos el punto medio entre $0.62$ ($0.7324$) y $0.63$ ($0.7357$): $$P(Z \le 0.625) \approx 0.7340$$ Entonces: $$P(160 \lt X \lt 190) = 0.8944 - (1 - 0.7340) = 0.8944 - 0.266 = 0.6284$$ 💡 **Tip:** En un intervalo $(a, b)$, la probabilidad se calcula siempre como $P(Z \lt b) - P(Z \lt a)$.

Operando finalmente obtenemos la probabilidad de que la altura esté comprendida entre los valores dados. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(160 \lt X \lt 190) = 0.6284}$$

**c) [1 punto] Sabiendo que solo el 12% de las personas rubias de la población mide más de 190 cm, calcula la probabilidad de que, escogiendo a una persona al azar, esta sea rubia y mida más de 190 cm.** Definimos los sucesos: - $R$: "Ser una persona rubia". - $M$: "Medir más de 190 cm". Datos aportados: - $P(R) = 0.85$ (el 85% de la población es rubia). - $P(M|R) = 0.12$ (el 12% de los rubios miden más de 190 cm). Buscamos la probabilidad de la intersección: $P(R \cap M)$. Usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(R \cap M) = P(R) \cdot P(M|R)$$ Representamos los datos mediante un diagrama de árbol parcial: Sustituyendo los valores: $$P(R \cap M) = 0.85 \cdot 0.12 = 0.102$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez (intersección) es el producto de la probabilidad del primero por la del segundo dado que ocurrió el primero. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{P(R \cap M) = 0.102}$$