Probabilidad en urnas: Teorema de la Probabilidad Total y Bayes

**a) [0,5 puntos] Si se sacan al azar dos bolas de la urna A, a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que sean dos bolas rojas?** Extraer dos bolas "a la vez" es equivalente a extraerlas una tras otra **sin reposición**. En la urna A tenemos: - Bolas rojas ($R$): 3 - Bolas verdes ($V$): 2 - Total de bolas: 5 Definimos los sucesos: - $R_1$: "La primera bola extraída es roja". - $R_2$: "La segunda bola extraída es roja". La probabilidad de que ambas sean rojas es la intersección: $$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2 | R_1)$$ Calculamos cada una: 1. $P(R_1) = \dfrac{3}{5}$ (hay 3 rojas de un total de 5). 2. $P(R_2 | R_1) = \dfrac{2}{4}$ (si la primera fue roja, quedan 2 rojas de un total de 4). Operamos: $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$$ 💡 **Tip:** También puedes usar combinatoria. La probabilidad es $\dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{3}{10}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{dos rojas}) = 0,3}$$

Para los apartados **b)** y **c)**, primero elegimos una urna al azar ($P(A) = P(B) = 0,5$) y luego extraemos una bola. Representamos la composición de las urnas: - Urna $A$: 3R, 2V (Total: 5) - Urna $B$: 2R, 4V (Total: 6)

**b) [0,5 puntos] Si se saca una sola bola de una urna elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: - $P(A) = 1/2$ - $P(R|A) = 3/5$ - $P(B) = 1/2$ - $P(R|B) = 2/6 = 1/3$ Calculamos: $$P(R) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right)$$ $$P(R) = \frac{3}{10} + \frac{1}{6}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de 10 y 6, que es 30: $$P(R) = \frac{9}{30} + \frac{5}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$$ En decimal aproximado: $P(R) \approx 0,4667$. 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma los caminos que terminan en el suceso deseado (Roja). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = \frac{7}{15}}$$

**c) [1,5 puntos] Si se saca una bola verde de una urna escogida al azar, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la urna A?** Este es un problema de probabilidad a posteriori, usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|V) = \frac{P(A) \cdot P(V|A)}{P(V)}$$ Primero necesitamos $P(V)$. Como $P(R) = 14/30$, la probabilidad de sacar verde es el complementario: $$P(V) = 1 - P(R) = 1 - \frac{14}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$$ (También podríamos calcularlo como $P(A)P(V|A) + P(B)P(V|B) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{6} = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{8}{15}$). Ahora aplicamos Bayes: $$P(A|V) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}}{\frac{8}{15}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{8}{15}}$$ Simplificamos la fracción: $$P(A|V) = \frac{1}{5} \cdot \frac{15}{8} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$$ En decimal: $P(A|V) = 0,375$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "volver atrás" en el árbol una vez conocido el resultado final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|V) = \frac{3}{8}}$$