Geometría en el espacio: Rectas, planos y distancias

**a) [0,5 puntos] Expresa la recta $r$ en forma continua.** Para expresar la recta en forma continua, necesitamos un punto $A$ de la recta y su vector director $\vec{v}_r$. Partimos de las ecuaciones implícitas dadas: $$r : \begin{cases} x - 2z - 2 = 0 \\ y + z = 3 \end{cases}$$ Podemos parametrizar la recta en función de $z$. Hacemos $z = \lambda$: 1. De la primera ecuación: $x = 2 + 2z \implies x = 2 + 2\lambda$ 2. De la segunda ecuación: $y = 3 - z \implies y = 3 - \lambda$ Obtenemos las ecuaciones paramétricas: $$r : \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: **$A = (2, 3, 0)$** - El vector director: **$\vec{v}_r = (2, -1, 1)$** La forma continua se obtiene despejando $\lambda$ e igualando: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para pasar de implícitas a paramétricas basta con resolver el sistema dejando una variable como parámetro (por ejemplo $z=\lambda$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z}{1}}$$

**b) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$.** Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{v}_r = (2, -1, 1)$, será el vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando los componentes del vector normal: $$2x - y + z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto **$P = (-3, 2, 2)$**, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$: $$2(-3) - (2) + (2) + D = 0$$ $$-6 - 2 + 2 + D = 0 \implies -6 + D = 0 \implies D = 6$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a una recta tiene como vector normal el propio vector director de dicha recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x - y + z + 6 = 0}$$

**c) [1 punto] Calcula la distancia entre $r$ y $P$.** Para calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ Donde: - $A = (2, 3, 0)$ es un punto de la recta $r$. - $P = (-3, 2, 2)$ es el punto dado. - $\vec{v}_r = (2, -1, 1)$ es el vector director de la recta. Calculamos el vector $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = P - A = (-3 - 2, 2 - 3, 2 - 0) = (-5, -1, 2)$$

Calculamos el producto vectorial $\vec{AP} \times \vec{v}_r$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \vec{AP} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{w} = \vec{i} [(-1) \cdot 1 - 2 \cdot (-1)] - \vec{j} [(-5) \cdot 1 - 2 \cdot 2] + \vec{k} [(-5) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2]$$ $$\vec{w} = \vec{i} [-1 + 2] - \vec{j} [-5 - 4] + \vec{k} [5 + 2]$$ $$\vec{w} = 1\vec{i} + 9\vec{j} + 7\vec{k} = (1, 9, 7)$$ Calculamos los módulos necesarios: 1. Módulo del producto vectorial: $$|\vec{AP} \times \vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 9^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 81 + 49} = \sqrt{131}$$ 2. Módulo del vector director: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los vectores; al dividir por la base (el módulo de la recta), obtenemos la altura, que es la distancia buscada.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de la distancia: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{131}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{131}{6}} \text{ unidades}$$ Si racionalizamos u operamos aproximadamente: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{786}}{6} \approx 4,67 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{\frac{131}{6}} \approx 4,67}$$ *(Nota: Ambas expresiones, la exacta con raíz y la aproximada, son válidas, aunque se prefiere la exacta en exámenes de acceso a la universidad).*