Corte entre curvas y cálculo de áreas

**a) [0,5 puntos] Determina los puntos de corte de $g(x)$ con el eje de abscisas OX.** Para hallar los puntos de corte de una función con el eje de abscisas ($OX$), debemos resolver la ecuación $g(x) = 0$. Sustituimos la expresión de $g(x)$: $$1 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm \sqrt{1}$$ $$x_1 = 1, \quad x_2 = -1$$ Los puntos de corte se expresan en coordenadas $(x, y)$, donde la $y$ es siempre $0$. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos sobre el eje OX tienen siempre la segunda coordenada igual a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1(1, 0) \text{ y } P_2(-1, 0)}$$

**b) [0,5 puntos] Determina los puntos de corte de $f(x)$ con $g(x)$.** Para encontrar los puntos donde ambas gráficas se intersecan, igualamos sus expresiones: $f(x) = g(x)$. $$x^2 - x = 1 - x^2$$ Agrupamos todos los términos en un lado de la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$2x^2 - x - 1 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$$ Obtenemos dos valores de $x$: - $x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$ - $x_2 = \frac{1-3}{4} = -0,5$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en cualquiera de las funciones (por ejemplo en $g(x)$): - Si $x = 1 \implies g(1) = 1 - 1^2 = 0 \implies (1, 0)$ - Si $x = -0,5 \implies g(-0,5) = 1 - (-0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75 \implies (-0,5, 0,75)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(1, 0) \text{ y } (-0,5; 0,75)}$$

**c) [1,5 puntos] Calcula el área delimitada por $f(x)$, $g(x)$ y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.** El área comprendida entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ se calcula mediante la integral del valor absoluto de su diferencia: $$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$$ Como las funciones se cortan en $x = -0,5$ y $x = 1$ dentro del intervalo dado $[-1, 1]$, debemos dividir la región en dos recintos para eliminar el valor absoluto: 1. Intervalo $[-1, -0,5]$ 2. Intervalo $[-0,5, 1]$ Comprobamos qué función está por encima en cada tramo: - En $x = -0,75$: $f(-0,75) = 1,3125$ y $g(-0,75) = 0,4375$. Por tanto, $f(x) > g(x)$. - En $x = 0$: $f(0) = 0$ y $g(0) = 1$. Por tanto, $g(x) > f(x)$. 💡 **Tip:** Si no quieres comprobar cuál está por encima, puedes calcular la integral de $(f-g)$ y tomar el valor absoluto del resultado de cada tramo.

Calculamos la primera integral en el intervalo $[-1, -0,5]$ donde $f(x) \ge g(x)$: $$A_1 = \int_{-1}^{-0,5} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^{-0,5} (2x^2 - x - 1) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$H(x) = \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_1 = H(-0,5) - H(-1) = \left( \frac{2(-0,5)^3}{3} - \frac{(-0,5)^2}{2} - (-0,5) \right) - \left( \frac{2(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - (-1) \right)$$ $$A_1 = \left( -\frac{1}{12} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{7}{24} - \left( -\frac{1}{6} \right) = \frac{7}{24} + \frac{4}{24} = \frac{11}{24} \text{ u}^2$$

Calculamos la segunda integral en el intervalo $[-0,5, 1]$ donde $g(x) \ge f(x)$: $$A_2 = \int_{-0,5}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-0,5}^{1} (1 + x - 2x^2) \, dx$$ La primitiva es: $$G(x) = x + \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}$$ Aplicamos Barrow: $$A_2 = G(1) - G(-0,5) = \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \right) - \left( -0,5 + \frac{0,25}{2} - \frac{2(-0,125)}{3} \right)$$ $$A_2 = \frac{5}{6} - \left( -\frac{7}{24} \right) = \frac{20}{24} + \frac{7}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \text{ u}^2$$ El área total es la suma de ambas áreas: $$A_{total} = A_1 + A_2 = \frac{11}{24} + \frac{27}{24} = \frac{38}{24} = \frac{19}{12} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{19}{12} \approx 1,583 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=x^2-x", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=1-x^2", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg1", "latex": "1-x^2 \le y \le x^2-x \{-1 \le x \le -0.5\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "x^2-x \le y \le 1-x^2 \{-0.5 \le x \le 1\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1.5, "right": 1.5, "bottom": -1, "top": 2.5 } } }