Estudio completo de una función exponencial

**a) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar el crecimiento, necesitamos hallar la primera derivada $f'(x)$. La función es un producto de una exponencial y un polinomio, por lo que aplicamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$: Sean: - $u = e^{-2x} \implies u' = -2e^{-2x}$ - $v = x^2 - 3x + \frac{3}{2} \implies v' = 2x - 3$ $$f'(x) = -2e^{-2x} \left(x^2 - 3x + \frac{3}{2}\right) + e^{-2x} (2x - 3)$$ Factorizamos $e^{-2x}$ para simplificar la expresión: $$f'(x) = e^{-2x} \left[-2(x^2 - 3x + 1.5) + (2x - 3)\right]$$ $$f'(x) = e^{-2x} \left[-2x^2 + 6x - 3 + 2x - 3\right]$$ $$f'(x) = e^{-2x} (-2x^2 + 8x - 6)$$ Podemos extraer $-2$ como factor común: $$\boxed{f'(x) = -2e^{-2x} (x^2 - 4x + 3)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$. En este caso, $(e^{-2x})' = -2e^{-2x}$.

Igualamos la derivada a cero para hallar los puntos críticos: $$-2e^{-2x} (x^2 - 4x + 3) = 0$$ Como la función exponencial $e^{-2x}$ nunca es cero para ningún valor de $x$, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0$$ Los puntos críticos son **$x = 1$** y **$x = 3$**. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos utilizando una tabla: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\\hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \text{máx} & \searrow \end{array}$$ **Conclusión:** - $f(x)$ es **creciente** en el intervalo $\boxed{(1, 3)}$. - $f(x)$ es **decreciente** en los intervalos $\boxed{(-\infty, 1) \cup (3, \infty)}$.

**b) Determina, si existen, los puntos de inflexión de $f(x)$.** Para hallar los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada $f''(x)$ a partir de $f'(x) = e^{-2x} (-2x^2 + 8x - 6)$: $$f''(x) = -2e^{-2x} (-2x^2 + 8x - 6) + e^{-2x} (-4x + 8)$$ Factorizamos $e^{-2x}$ nuevamente: $$f''(x) = e^{-2x} \left[ 4x^2 - 16x + 12 - 4x + 8 \right]$$ $$f''(x) = e^{-2x} (4x^2 - 20x + 20)$$ Simplificamos extrayendo el factor $4$: $$\boxed{f''(x) = 4e^{-2x} (x^2 - 5x + 5)}$$

Igualamos la segunda derivada a cero: $$x^2 - 5x + 5 = 0$$ Aplicamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Obtenemos dos candidatos: - $x_1 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1.38$ - $x_2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx 3.62$ Analizamos el cambio de signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, x_1) & x_1 & (x_1, x_2) & x_2 & (x_2, +\infty) \\\hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \cup & \text{P.I.} & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ Dado que hay un cambio de curvatura en ambos valores, los puntos de inflexión existen en: $$\boxed{x = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$$

**c) Si existen, halla las asíntotas horizontales de $f(x)$.** Una asíntota horizontal existe si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (siendo $L$ un número real). 1. **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to \infty} e^{-2x} \left(x^2 - 3x + \frac{3}{2}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x + 1.5}{e^{2x}}$$ Como es una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 3}{2e^{2x}}$$ Sigue siendo $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{4e^{2x}} = \frac{2}{\infty} = 0$$ Esto significa que hay una asíntota horizontal en **$y = 0$** cuando $x \to +\infty$.

2. **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} e^{-2x} \left(x^2 - 3x + \frac{3}{2}\right)$$ Analizamos el comportamiento de los factores: - Si $x \to -\infty$, entonces $-2x \to +\infty$, por lo que $e^{-2x} \to e^{\infty} = \infty$. - El polinomio $x^2 - 3x + 1.5 \to \infty$. $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = (\infty) \cdot (\infty) = \infty$$ Como el límite no es un valor finito, no hay asíntota horizontal por la izquierda. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La asíntota horizontal es } y = 0}$$