Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) [1,5 puntos] Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible.** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ a-1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & a^2+a+1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 4 \\ a-1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & a^2+a+1 & 0 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según los valores de $a$, calcularemos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ a-1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & a^2+a+1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [a \cdot 0 \cdot (a^2+a+1) + 1 \cdot (-3) \cdot 0 + 1 \cdot (a-1) \cdot 1] - [0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) \cdot a + (a^2+a+1) \cdot (a-1) \cdot 1]$$ $$|A| = (a-1) - [-3a + (a^3-1)]$$ $$|A| = a - 1 + 3a - a^3 + 1 = 4a - a^3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto notable $(a-1)(a^2+a+1) = a^3 - 1$ facilita mucho el cálculo del determinante. $$\boxed{|A| = a(4 - a^2) = a(2-a)(2+a)}$$

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos: $$|A| = 0 \implies a(2-a)(2+a) = 0 \implies a = 0, \, a = 2, \, a = -2$$ **Caso 1: $a \neq 0, a \neq 2, a \neq -2$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 0$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 4 \\ -1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 1 y 3 tienen los mismos coeficientes en $A$ pero distinto término independiente ($1=4$ y $1=0$), lo que indica incompatibilidad. Formalmente, un menor de $A^*$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3 \neq \text{rg}(A) = 2$$ El sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: $a = 2$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 7 & 0 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, $\text{rg}(A) < 3$. El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con el término independiente: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 + 4 - (0 + 4 + 0) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son 0, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 4: $a = -2$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 1 & 4 \\ -3 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{array}\right)$$ $\text{rg}(A) = 2$ ya que $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$. Probamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 4 \\ -3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 - 12 - (0 - 4 + 0) = -8 \neq 0$$ $\text{rg}(A^*) = 3 \neq \text{rg}(A) = 2$. El sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sistema compatible si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -2\}}$$

**b) [0,5 puntos] Considera $a = -1$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.** Para $a = -1$, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $a$: $$\begin{cases} -x + y + z = 4 \\ -2x - 3z = 2 \\ y + z = 0 \end{cases}$$ De la tercera ecuación, despejamos $y$: $$y = -z$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$-x + (-z) + z = 4 \implies -x = 4 \implies x = -4$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación para hallar $z$: $$-2(-4) - 3z = 2 \implies 8 - 3z = 2 \implies -3z = -6 \implies z = 2$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = -(2) = -2$$ ✅ **Resultado (Solución única):** $$\boxed{x = -4, \, y = -2, \, z = 2}$$

**c) [0,5 puntos] Considera $a = 2$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.** Para $a = 2$, vimos que el sistema es Compatible Indeterminado (SCI). El sistema es: $$\begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - 3z = 2 \\ y + 7z = 0 \end{cases}$$ Usamos un parámetro para las infinitas soluciones. Sea **$z = \lambda$**. De la tercera ecuación: $$y = -7\lambda$$ De la segunda ecuación: $$x = 2 + 3z \implies x = 2 + 3\lambda$$ Comprobamos en la primera ecuación: $$2(2 + 3\lambda) + (-7\lambda) + \lambda = 4 + 6\lambda - 7\lambda + \lambda = 4$$ La solución es coherente. 💡 **Tip:** Cuando un sistema es SCI con rango 2 y 3 incógnitas, la solución siempre dependerá de un único parámetro (grados de libertad = $n - \text{rg} = 3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado (Solución general):** $$\boxed{(x, y, z) = (2 + 3\lambda, -7\lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$