Rango de productos de matrices y ecuaciones matriciales

**a) Estudio del rango de $AB$ en función de $a$** Primero, calculamos el producto de las matrices $A$ y $B$. Dado que $A$ es una matriz de dimensiones $3 \times 2$ y $B$ es de $2 \times 3$, el producto $AB$ será una matriz cuadrada de orden $3$. $$AB = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$AB = \begin{pmatrix} (-1)\cdot1 + 1\cdot3 & (-1)\cdot a + 1\cdot0 & (-1)\cdot0 + 1\cdot2 \\ 1\cdot1 + 2\cdot3 & 1\cdot a + 2\cdot0 & 1\cdot0 + 2\cdot2 \\ 1\cdot1 + a\cdot3 & 1\cdot a + a\cdot0 & 1\cdot0 + a\cdot2 \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} 2 & -a & 2 \\ 7 & a & 4 \\ 1+3a & a & 2a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices $M_{m\times n} \cdot N_{n\times p}$, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda.

Para estudiar el rango de $AB$, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus o desarrollo por una línea: $$|AB| = \begin{vmatrix} 2 & -a & 2 \\ 7 & a & 4 \\ 1+3a & a & 2a \end{vmatrix}$$ $$|AB| = [2(a)(2a) + (-a)(4)(1+3a) + (2)(7)(a)] - [(2)(a)(1+3a) + (2)(4)(a) + (-a)(7)(2a)]$$ $$|AB| = [4a^2 - 4a - 12a^2 + 14a] - [2a + 6a^2 + 8a - 14a^2]$$ $$|AB| = (-8a^2 + 10a) - (-8a^2 + 10a) = 0$$ Como el determinante es $0$ para cualquier valor de $a$, el rango de $AB$ es siempre menor que $3$. Buscamos un menor de orden $2$ que no dependa de $a$ o que sea distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 8 - 14 = -6 \neq 0$$ Al existir un menor de orden $2$ no nulo, el rango es al menos $2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{rg}(AB) = 2 \text{ para todo } a \in \mathbb{R}}$$

**b) Estudio del rango de $BA$ en función de $a$** Calculamos ahora el producto $BA$. Al multiplicar una matriz de $2 \times 3$ por una de $3 \times 2$, obtendremos una matriz de $2 \times 2$. $$BA = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & a \end{pmatrix}$$ $$BA = \begin{pmatrix} 1(-1) + a(1) + 0(1) & 1(1) + a(2) + 0(a) \\ 3(-1) + 0(1) + 2(1) & 3(1) + 0(2) + 2(a) \end{pmatrix}$$ $$BA = \begin{pmatrix} a - 1 & 2a + 1 \\ -1 & 2a + 3 \end{pmatrix}$$

Calculamos el determinante de $BA$ para ver cuándo se anula: $$|BA| = \begin{vmatrix} a - 1 & 2a + 1 \\ -1 & 2a + 3 \end{vmatrix} = (a - 1)(2a + 3) - (-1)(2a + 1)$$ $$|BA| = (2a^2 + 3a - 2a - 3) + (2a + 1) = 2a^2 + 3a - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4\cdot2\cdot(-2)}}{2\cdot2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$ Las soluciones son $a = \frac{2}{4} = 0,5$ y $a = -2$. Analizamos los casos: 1. Si **$a \neq 0,5$ y $a \neq -2$**, entonces $|BA| \neq 0$ y por tanto $\text{rg}(BA) = 2$. 2. Si **$a = 0,5$ o $a = -2$**, entonces $|BA| = 0$. Como la matriz no es la matriz nula en ninguno de esos casos, $\text{rg}(BA) = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0.5\} \implies \text{rg}(BA) = 2 \\ \text{Si } a = -2 \text{ o } a = 0.5 \implies \text{rg}(BA) = 1 \end{cases}}$$

**c) Cálculo de la matriz $X$ para $a = 1$ tal que $BA \cdot X = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$** Para $a = 1$, sustituimos en la expresión de $BA$ obtenida anteriormente: $$BA = \begin{pmatrix} 1 - 1 & 2(1) + 1 \\ -1 & 2(1) + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$ Como $a=1$ no es ni $0,5$ ni $-2$, la matriz es invertible. El determinante es $|BA| = 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 3$. La ecuación es $BA \cdot X = C$, donde $C = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $BA$: $$X = (BA)^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales del tipo $M \cdot X = C$, la solución es $X = M^{-1} \cdot C$, siempre que $M$ sea invertible.

Calculamos $(BA)^{-1}$ usando la traspuesta de la adjunta: $$(BA)^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}((BA)^t) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$(BA)^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X$: $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5\cdot3 + (-3)\cdot7 \\ 1\cdot3 + 0\cdot7 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}}$$