Probabilidad en el uso de transporte universitario

Definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $B$: El estudiante utiliza la bicicleta. - $T$: El estudiante utiliza el transporte público. Los datos proporcionados son: - $P(B) = 0,25$ - $P(T) = 0,70$ - $P(\bar{B} \cap \bar{T}) = 0,15$ (estudiantes que no usan ninguno de los dos). Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** para visualizar mejor las relaciones entre los sucesos. Primero, calculamos las probabilidades de los sucesos contrarios: - $P(\bar{B}) = 1 - 0,25 = 0,75$ - $P(\bar{T}) = 1 - 0,70 = 0,30$ $$\begin{array}{c|cc|c} & T & \bar{T} & \text{Total} \\\hline B & P(B \cap T) & P(B \cap \bar{T}) & 0,25 \\ \bar{B} & P(\bar{B} \cap T) & 0,15 & 0,75 \\\hline \text{Total} & 0,70 & 0,30 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con dos condiciones que pueden solaparse, una tabla de contingencia o las Leyes de De Morgan suelen ser el camino más rápido.

**a) [0,5 puntos] Si se escoge a un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que utilice tanto la bicicleta como el transporte público?** Buscamos $P(B \cap T)$. Podemos utilizar la relación de la unión o completar la tabla. Usando las **Leyes de De Morgan**: $$P(\bar{B} \cap \bar{T}) = P(\overline{B \cup T}) = 0,15$$ Por tanto, la probabilidad de la unión es: $$P(B \cup T) = 1 - P(\overline{B \cup T}) = 1 - 0,15 = 0,85$$ Ahora aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(B \cup T) = P(B) + P(T) - P(B \cap T)$$ $$0,85 = 0,25 + 0,70 - P(B \cap T)$$ $$0,85 = 0,95 - P(B \cap T)$$ $$P(B \cap T) = 0,95 - 0,85 = 0,10$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap T) = 0,10}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de la intersección $P(B \cap T)$ representa a los estudiantes que usan **ambos** medios de transporte.

**b) [1 punto] Si se escoge a un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que utilice solo la bicicleta o solo el transporte público?** Este suceso se conoce como la **diferencia simétrica**. Representa a los estudiantes que usan uno de los dos pero no ambos. Podemos calcularlo de dos formas: 1. Restando la intersección a la unión: $$P(\text{solo B o solo T}) = P(B \cup T) - P(B \cap T) = 0,85 - 0,10 = 0,75$$ 2. Sumando las partes exclusivas: - Solo bicicleta: $P(B) - P(B \cap T) = 0,25 - 0,10 = 0,15$ - Solo transporte: $P(T) - P(B \cap T) = 0,70 - 0,10 = 0,60$ $$P(\text{solo B o solo T}) = 0,15 + 0,60 = 0,75$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{solo uno}) = 0,75}$$ 💡 **Tip:** "Solo A o solo B" es equivalente a decir que ocurre la unión pero no ocurre la intersección.

**c) [1 punto] Si se escoge a un estudiante que no utiliza el transporte público, ¿cuál es la probabilidad de que utilice bicicleta?** Se trata de una **probabilidad condicionada**. Sabemos que el estudiante no usa transporte público ($\bar{T}$), queremos hallar la probabilidad de que use bicicleta ($B$). La fórmula es: $$P(B | \bar{T}) = \frac{P(B \cap \bar{T})}{P(\bar{T})}$$ Calculamos los elementos necesarios: - $P(\bar{T}) = 1 - P(T) = 1 - 0,70 = 0,30$ - $P(B \cap \bar{T}) = P(B) - P(B \cap T) = 0,25 - 0,10 = 0,15$ (es el dato de "solo bicicleta") Sustituimos en la fórmula: $$P(B | \bar{T}) = \frac{0,15}{0,30} = 0,5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B | \bar{T}) = 0,5}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ restringe nuestro "universo" al suceso $B$ (en este caso, al 30% que no usa transporte público).