Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en un ensayo clínico

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales a partir de los datos proporcionados: - $M$: El participante recibe la medicación. - $P$: El participante recibe el placebo. - $I$: El participante mejora (dolencia remitida). - $\bar{I}$: El participante no mejora. El enunciado indica que los dos grupos tienen el mismo número de personas, por lo que la probabilidad de elegir a alguien de cada grupo es la misma: $$P(M) = 0.5 \quad y \quad P(P) = 0.5$$ Las probabilidades de mejora condicionadas son: - Con medicación: $P(I|M) = 0.85$ - Con placebo: $P(I|P) = 0.05$ Podemos representar esta situación mediante un **árbol de probabilidad**:

**a) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un participante tratado con el medicamento no mejore?** Este apartado nos pide la probabilidad condicionada de no mejorar, dado que el paciente ha tomado el medicamento ($P(\bar{I}|M)$). Sabemos que la suma de las probabilidades de los sucesos contrarios condicionados a un mismo suceso debe ser 1: $$P(I|M) + P(\bar{I}|M) = 1$$ Como conocemos $P(I|M) = 0.85$: $$P(\bar{I}|M) = 1 - 0.85 = 0.15$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las ramas que salen de un mismo nodo en el árbol de probabilidad siempre debe ser igual a 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{I}|M) = 0.15}$$

**b) [1 punto] Calcula la probabilidad de que un participante elegido al azar no haya mejorado.** Para calcular la probabilidad de un suceso final (no mejorar) cuando este puede ocurrir a través de distintos caminos (medicina o placebo), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(\bar{I}) = P(M) \cdot P(\bar{I}|M) + P(P) \cdot P(\bar{I}|P)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: - $P(M) = 0.5$ - $P(\bar{I}|M) = 0.15$ - $P(P) = 0.5$ - $P(\bar{I}|P) = 1 - P(I|P) = 1 - 0.05 = 0.95$ Realizamos el cálculo: $$P(\bar{I}) = (0.5 \cdot 0.15) + (0.5 \cdot 0.95)$$ $$P(\bar{I}) = 0.075 + 0.475 = 0.55$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa para hallar la probabilidad de un suceso que depende de una partición previa del espacio muestral. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{I}) = 0.55}$$

**c) [1 puntos] Si se escoge al azar un participante que haya mejorado, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya administrado el placebo?** Nos piden la probabilidad de que haya recibido el placebo sabiendo que ha mejorado, es decir, $P(P|I)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(P|I) = \frac{P(P \cap I)}{P(I)} = \frac{P(P) \cdot P(I|P)}{P(I)}$$ Primero calculamos $P(I)$ (la probabilidad de mejorar). Podemos usar el suceso contrario de lo hallado en el apartado anterior: $$P(I) = 1 - P(\bar{I}) = 1 - 0.55 = 0.45$$ Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(P|I) = \frac{0.5 \cdot 0.05}{0.45} = \frac{0.025}{0.45}$$ Para trabajar con fracciones más sencillas: $$P(P|I) = \frac{25}{450} = \frac{1}{18} \approx 0.0556$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final y queremos saber la probabilidad de que se deba a una causa concreta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P|I) = \frac{1}{18} \approx 0.0556}$$