Recta en forma continua, posición relativa y distancia entre recta y plano

**a) [0,5 puntos] Expresa la recta $r$ en forma continua.** Para expresar la recta $r$ en forma continua, necesitamos un punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $\vec{u}(u_x, u_y, u_z)$. El vector director $\vec{u}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{n}_1 = (1, 1, 0)$ $\vec{n}_2 = (0, 1, 2)$ Calculamos el determinante paso a paso: $$\vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{u} = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot 2 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0)\mathbf{k}$$ $$\vec{u} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (2, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de los vectores normales a dos planos que se cortan nos da la dirección de la recta de intersección.

Para hallar un punto $P_0$ de la recta, buscamos una solución particular del sistema de ecuaciones. Si fijamos $y = 1$: - $x + 1 + 2 = 0 \Rightarrow x = -3$ - $1 + 2z - 5 = 0 \Rightarrow 2z = 4 \Rightarrow z = 2$ Por tanto, un punto de la recta es $P_0(-3, 1, 2)$. Sustituyendo el punto y el vector en la fórmula de la recta continua $\frac{x-x_0}{u_x} = \frac{y-y_0}{u_y} = \frac{z-z_0}{u_z}$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 2}{1}}$$

**b) [1 punto] Estudia la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$ en función del valor de $a$.** Analizamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{u} = (2, -2, 1)$ y el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi} = (5, 3, -4)$: $$\vec{u} \cdot \vec{n}_{\pi} = (2 \cdot 5) + (-2 \cdot 3) + (1 \cdot (-4)) = 10 - 6 - 4 = 0$$ Como el producto escalar es cero, los vectores $\vec{u}$ y $\vec{n}_{\pi}$ son **perpendiculares**. Esto implica que la recta es **paralela al plano** o está **contenida en él**. 💡 **Tip:** Si el producto escalar del vector director de la recta y el normal del plano es cero, la recta no corta al plano en un solo punto.

Para distinguir si la recta es paralela o está contenida, comprobamos si el punto $P_0(-3, 1, 2)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyéndolo en su ecuación: $$5(-3) + 3(1) - 4(2) + a = 0 \Rightarrow -15 + 3 - 8 + a = 0 \Rightarrow -20 + a = 0 \Rightarrow a = 20$$ Analizamos los casos: - **Si $a = 20$**: El punto $P_0$ está en el plano. Como el vector director es perpendicular al normal, toda la recta pertenece al plano. - **Si $a \neq 20$**: El punto $P_0$ no está en el plano, por lo que la recta y el plano no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a = 20: & r \subset \pi \text{ (Recta contenida en el plano)} \\ \text{Si } a \neq 20: & r \parallel \pi \text{ (Recta paralela al plano)} \end{cases}}$$

**c) [1 punto] Si $Q = (1, 0, 0)$ es un punto de $\pi$, ¿cuál es la distancia entre $r$ y $\pi$?** Primero, hallamos el valor de $a$ para el cual $Q(1, 0, 0)$ pertenece a $\pi$: $$5(1) + 3(0) - 4(0) + a = 0 \Rightarrow 5 + a = 0 \Rightarrow a = -5$$ Como $a = -5$, es distinto de $20$, por lo que sabemos del apartado anterior que la recta y el plano son paralelos ($r \parallel \pi$).

Cuando una recta es paralela a un plano, la distancia entre ellos es constante e igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usaremos el punto $P_0(-3, 1, 2)$ y el plano $\pi: 5x + 3y - 4z - 5 = 0$: $$d(r, \pi) = d(P_0, \pi) = \frac{|5(-3) + 3(1) - 4(2) - 5|}{\sqrt{5^2 + 3^2 + (-4)^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|-15 + 3 - 8 - 5|}{\sqrt{25 + 9 + 16}} = \frac{|-25|}{\sqrt{50}} = \frac{25}{\sqrt{50}}$$ Simplificamos la raíz: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$. $$d(r, \pi) = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{2}$ arriba y abajo: $$d(r, \pi) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3,54 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ u}}$$