Estudio de monotonía, puntos de corte e integral definida

**a) [1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar la monotonía, primero determinamos el dominio de la función. Como el denominador $x^2+1$ nunca se anula (ya que $x^2 \ge 0$ para cualquier $x$ real), el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. Calculamos la derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(3x)'(x^2+1) - (3x)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{3(x^2+1) - 3x(2x)}{(x^2+1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{3 - 3x^2}{(x^2+1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $$\boxed{f'(x) = \frac{3(1 - x^2)}{(x^2+1)^2}}$$

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 3(1 - x^2) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos. Notamos que el denominador $(x^2+1)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $3(1-x^2)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ Justificación de los signos: - Para $x = -2$: $f'(-2) = \frac{3(1-4)}{25} \lt 0$ (Decreciente). - Para $x = 0$: $f'(0) = \frac{3(1-0)}{1} \gt 0$ (Creciente). - Para $x = 2$: $f'(2) = \frac{3(1-4)}{25} \lt 0$ (Decreciente). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-1, 1) \text{ y decreciente en } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)}$$

**b) [0,5 puntos] Determina los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas OX.** Los puntos de corte con el eje OX se obtienen igualando la función a cero ($y = 0$): $$\frac{3x}{x^2+1} = 0 \implies 3x = 0 \implies x = 0$$ Sustituyendo en la función para obtener la ordenada: $f(0) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El único punto de corte es } (0, 0)}$$

**c) [1 punto] Calcula el área comprendida entre la curva $y = f(x)$, el eje de abscisas OX y las rectas $x = -1$ y $x = 2$.** Debemos calcular el área en el intervalo $[-1, 2]$. Como vimos en el apartado anterior, la función corta al eje OX en $x = 0$, que está dentro de nuestro intervalo de integración. Por tanto, debemos dividir la integral en dos recintos para asegurar que el área sea positiva: 1. Recinto 1: entre $x = -1$ y $x = 0$. 2. Recinto 2: entre $x = 0$ y $x = 2$. El área total será: $$A = \left| \int_{-1}^{0} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right|$$ Primero calculamos la integral indefinida: $$\int \frac{3x}{x^2+1} \, dx = \frac{3}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \frac{3}{2} \ln(x^2+1) + C$$ 💡 **Tip:** Esta es una integral de tipo logarítmico, donde buscamos que el numerador sea la derivada del denominador: $\int \frac{u'}{u} = \ln|u|$.

Aplicamos la regla de Barrow en cada intervalo: **Para el primer intervalo $[-1, 0]$:** $$I_1 = \left[ \frac{3}{2} \ln(x^2+1) \right]_{-1}^{0} = \frac{3}{2} \ln(1) - \frac{3}{2} \ln(2) = 0 - \frac{3}{2} \ln 2 = -\frac{3}{2} \ln 2$$ Área 1: $|I_1| = \frac{3}{2} \ln 2 \text{ u}^2$. **Para el segundo intervalo $[0, 2]$:** $$I_2 = \left[ \frac{3}{2} \ln(x^2+1) \right]_{0}^{2} = \frac{3}{2} \ln(5) - \frac{3}{2} \ln(1) = \frac{3}{2} \ln 5$$ Área 2: $|I_2| = \frac{3}{2} \ln 5 \text{ u}^2$. **Área Total:** $$A = \frac{3}{2} \ln 2 + \frac{3}{2} \ln 5 = \frac{3}{2} (\ln 2 + \ln 5) = \frac{3}{2} \ln(2 \cdot 5) = \frac{3}{2} \ln 10$$ Utilizando una aproximación decimal: $A \approx 1.5 \cdot 2.3026 \approx 3.454 \text{ u}^2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{3}{2} \ln 10 \approx 3.45 \text{ u}^2}$$