Estudio de función con exponencial y raíz: dominio, extremos y tangente

**a) Determina el dominio de definición de $f(x)$.** Para determinar el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x}e^{-x}$, analizamos sus componentes: 1. **Función raíz cuadrada ($\sqrt{x}$):** Solo está definida para valores del radicando que sean no negativos. Por tanto, debemos exigir que $x \ge 0$. 2. **Función exponencial ($e^{-x}$):** Está definida para cualquier número real ($x \in \mathbb{R}$). El dominio de la función será la intersección de ambas condiciones, es decir, el conjunto de los números reales mayores o iguales a cero. 💡 **Tip:** El dominio de una raíz de índice par requiere que el interior sea $\ge 0$. La función exponencial $e^u$ no introduce restricciones adicionales por sí misma. $$\boxed{\text{Dom}(f) = [0, +\infty)}$$

**b) Calcula el máximo absoluto de $f(x)$.** Primero, hallamos la derivada de la función para localizar los puntos críticos. Expresamos la raíz como potencia: $f(x) = x^{1/2} e^{-x}$. Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} \cdot e^{-x} + x^{1/2} \cdot (-e^{-x})$$ Simplificamos la expresión sacando factor común $e^{-x}$ y ajustando los términos: $$f'(x) = e^{-x} \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \right)$$ Para operar más fácilmente, ponemos común denominador dentro del paréntesis: $$f'(x) = e^{-x} \left( \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x}} \right)$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{(1-2x)e^{-x}}{2\sqrt{x}}}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos en el interior del dominio: $$f'(x) = 0 \implies \frac{(1-2x)e^{-x}}{2\sqrt{x}} = 0$$ Como $e^{-x}$ siempre es positivo y el denominador no puede ser cero ($x \gt 0$), la única solución proviene del numerador: $$1 - 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico dentro del dominio $[0, +\infty)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty)\\ \hline 1-2x & + & 0 & -\\ e^{-x} & + & + & +\\ 2\sqrt{x} & + & + & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & - \end{array} $$ - En $(0, 1/2)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ es **creciente**. - En $(1/2, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f(x)$ es **decreciente**. 💡 **Tip:** Al pasar de creciente a decreciente en $x=1/2$, aseguramos que existe un máximo relativo que, dado el comportamiento de la función, será absoluto.

Calculamos la ordenada del punto máximo sustituyendo $x = 1/2$ en la función original: $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$$ Dado que $f(0)=0$ y $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$, el valor hallado es efectivamente el valor máximo que alcanza la función en todo su dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo absoluto en } \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2e}}\right)}$$

**c) Halla la expresión de la recta tangente a $f(x)$ en $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $a$ sigue la fórmula: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. 1. **Cálculo de $f(1)$:** $$f(1) = \sqrt{1} \cdot e^{-1} = 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$$ 2. **Cálculo de la pendiente $f'(1)$:** Usamos la expresión de la derivada obtenida en el apartado anterior: $$f'(1) = \frac{(1 - 2(1))e^{-1}}{2\sqrt{1}} = \frac{-1 \cdot e^{-1}}{2} = -\frac{1}{2e}$$ 3. **Sustitución en la fórmula:** $$y - \frac{1}{e} = -\frac{1}{2e}(x - 1)$$ Multiplicamos para quitar el paréntesis: $$y - \frac{1}{e} = -\frac{x}{2e} + \frac{1}{2e}$$ $$y = -\frac{x}{2e} + \frac{1}{2e} + \frac{2}{2e} = \frac{3-x}{2e}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente coincide con el valor de la derivada en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{3 - x}{2e}}$$