Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema es incompatible.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 5 & 3-a & 0 \\ 3 & 1 & 2a+2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & a + \frac{3}{2} \\ 5 & 3-a & 0 & | & 5 \\ 3 & 1 & 2a+2 & | & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Un sistema es incompatible cuando $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$ según el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Para hallar los valores críticos del parámetro $a$, calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila (en este caso, por la primera fila): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 5 & 3-a & 0 \\ 3 & 1 & 2a+2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3-a & 0 \\ 1 & 2a+2 \end{vmatrix} - 0 + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3-a \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos los determinantes de orden 2: $$|A| = [(3-a)(2a+2) - 0] - [5(1) - 3(3-a)]$$ $$|A| = (6a + 6 - 2a^2 - 2a) - (5 - 9 + 3a)$$ $$|A| = (-2a^2 + 4a + 6) - (3a - 4) = -2a^2 + a + 10$$ $$\boxed{|A| = -2a^2 + a + 10}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores donde el rango de $A$ es menor que 3: $$-2a^2 + a + 10 = 0 \implies 2a^2 - a - 10 = 0$$ Aplicamos la fórmula cuadrática: $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-10)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{1 \pm 9}{4}$$ Obtenemos dos valores: 1. $a_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$ 2. $a_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Si $a = \frac{5}{2}$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 5 \neq 0$, sabemos que $\text{rango}(A) = 2$. Estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ usando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 4 \\ 5 & 0.5 & 0 & | & 5 \\ 3 & 1 & 7 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos el menor: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 5 & 0.5 & 5 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0-5) - 0 + 4(5 - 1.5) = -5 + 4(3.5) = -5 + 14 = 9 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Dado que **$\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$**, el sistema es **incompatible**. ✅ **Resultado:** El sistema es incompatible para **$a = \frac{5}{2}$**.

**b) Considera $a = 0$. Halla su solución general.** Si $a = 0$, $|A| = -2(0)^2 + 0 + 10 = 10 \neq 0$. Por tanto, el sistema es **Compatible Determinado** (solución única). El sistema resultante es: $$\begin{cases} (1) \quad x - z = \frac{3}{2} \\ (2) \quad 5x + 3y = 5 \\ (3) \quad 3x + y + 2z = 0 \end{cases}$$ **Paso 1:** Despejamos $z$ de (1): $z = x - \frac{3}{2}$. **Paso 2:** Sustituimos $z$ en (3): $$3x + y + 2\left(x - \frac{3}{2}\right) = 0 \implies 3x + y + 2x - 3 = 0 \implies 5x + y = 3 \implies y = 3 - 5x$$ **Paso 3:** Sustituimos $y$ en (2): $$5x + 3(3 - 5x) = 5 \implies 5x + 9 - 15x = 5 \implies -10x = -4 \implies x = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$ **Paso 4:** Calculamos $y$ y $z$: $$y = 3 - 5\left(\frac{2}{5}\right) = 3 - 2 = 1$$ $$z = \frac{2}{5} - \frac{3}{2} = \frac{4 - 15}{10} = -\frac{11}{10}$$ ✅ **Resultado:** La solución es **$(x, y, z) = \left(\frac{2}{5}, 1, -\frac{11}{10}\right)$**.