Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) [0,75 puntos] Si tiene sentido la operación, calcula: $(2A + B)^2$.** Primero, comprobamos si la operación tiene sentido. Las matrices $A$ y $B$ son de orden $2 \times 2$, por lo que su suma y el producto resultante $(2A + B)^2$ también serán de orden $2 \times 2$. Calculamos la matriz $2A$ multiplicando cada elemento de $A$ por $2$: $$2A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot (-1) & 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$$ Ahora sumamos la matriz $B$ componente a componente: $$2A + B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+3 & 0-2 \\ -2-1 & 6+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar matrices, estas deben tener el mismo orden (mismo número de filas y columnas).

Para calcular $(2A + B)^2$, multiplicamos la matriz obtenida por sí misma: $$(2A + B)^2 = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices (fila por columna): - Elemento (1,1): $5 \cdot 5 + (-2) \cdot (-3) = 25 + 6 = 31$ - Elemento (1,2): $5 \cdot (-2) + (-2) \cdot 6 = -10 - 12 = -22$ - Elemento (2,1): $(-3) \cdot 5 + 6 \cdot (-3) = -15 - 18 = -33$ - Elemento (2,2): $(-3) \cdot (-2) + 6 \cdot 6 = 6 + 36 = 42$ Obtenemos: $$(2A + B)^2 = \begin{pmatrix} 31 & -22 \\ -33 & 42 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(2A + B)^2 = \begin{pmatrix} 31 & -22 \\ -33 & 42 \end{pmatrix}}$$

**b) [0,75 puntos] Si tiene sentido la operación, calcula: $C(AC)^t$.** Analizamos las dimensiones: - $A$ es $2 \times 2$ y $C$ es $2 \times 1$. El producto $AC$ es posible y resultará en una matriz de $2 \times 1$. - $(AC)^t$ será de orden $1 \times 2$. - $C$ es $2 \times 1$. El producto $C \cdot (AC)^t$ (orden $(2 \times 1) \cdot (1 \times 2)$) es posible y dará una matriz de $2 \times 2$. Calculamos primero $AC$: $$AC = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 \\ -1 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de matrices $M \cdot N$ solo es posible si el número de columnas de $M$ es igual al número de filas de $N$.

Hallamos la traspuesta de $AC$: $$(AC)^t = \begin{pmatrix} -2 & 5 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto final $C(AC)^t$: $$C(AC)^t = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot (-2) & (-2) \cdot 5 \\ 1 \cdot (-2) & 1 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{C(AC)^t = \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}}$$

**c) [1 punto] Obtén, si es posible, la matriz $X$ que satisface la ecuación matricial: $2AX = C$.** Para despejar $X$, si la matriz $2A$ tiene inversa, podemos multiplicar por $(2A)^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$(2A)^{-1} (2A) X = (2A)^{-1} C \implies X = (2A)^{-1} C$$ Primero, calculamos el determinante de la matriz $M = 2A$ para ver si es invertible: $$M = 2A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$$ $$|M| = (2 \cdot 6) - (0 \cdot (-2)) = 12 - 0 = 12$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz $2A$ es invertible y la ecuación tiene solución única. 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto importa. Si multiplicas por la inversa por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro: $AX = B \implies X = A^{-1}B$.

Calculamos la matriz inversa $(2A)^{-1} = \frac{1}{|2A|} \text{Adj}(2A)^t$. 1. Matriz de adjuntos de $M = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$: - $Adj(2,2) = 6$ - $Adj(2,0) = -(-2) = 2$ - $Adj(-2,2) = -(0) = 0$ - $Adj(6,2) = 2$ $$\text{Adj}(2A) = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Matriz adjunta traspuesta: $$\text{Adj}(2A)^t = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Matriz inversa: $$(2A)^{-1} = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6/12 & 0 \\ 2/12 & 2/12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 1/6 & 1/6 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = (2A)^{-1} C$: $$X = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 1/6 & 1/6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto: - Fila 1: $(1/2) \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = -1 + 0 = -1$ - Fila 2: $(1/6) \cdot (-2) + (1/6) \cdot 1 = -2/6 + 1/6 = -1/6$ Luego: $$X = \begin{pmatrix} -1 \\ -1/6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 \\ -\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}}$$