Probabilidad de fallos en la producción de aspiradoras

Para resolver el problema, lo primero es definir los sucesos y organizar la información en un diagrama de árbol. Definimos los siguientes sucesos: - $A$: La aspiradora ha sido fabricada en la **sede A**. - $B$: La aspiradora ha sido fabricada en la **sede B**. - $F$: La aspiradora **falla** durante el primer año. - $\bar{F}$: La aspiradora **no falla** durante el primer año. Datos del enunciado: - $P(A) = 60\% = 0,6$ - Como solo hay dos sedes, $P(B) = 1 - P(A) = 0,4$ - $P(F|A) = 0,15\% = 0,0015$ - $P(F|B) = 0,1\% = 0,001$ 💡 **Tip:** Recuerda que al pasar de porcentaje a probabilidad decimal, debemos dividir por 100 ($0,15\% = 0,15/100 = 0,0015$). Representamos el árbol de probabilidades:

**Tarea a, [0,75 puntos]. Calcula la probabilidad de que una aspiradora fabricada en la sede B no falle durante el primer año.** Se nos pide la probabilidad condicionada de que no falle sabiendo que proviene de la sede B, es decir, $P(\bar{F}|B)$. Como sabemos que $P(F|B) = 0,001$, utilizamos la propiedad del suceso contrario: $$P(\bar{F}|B) = 1 - P(F|B)$$ $$P(\bar{F}|B) = 1 - 0,001 = 0,999$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{F}|B) = 0,999}$$

**Tarea b, [0,75 puntos]. Calcula la probabilidad de que una aspiradora elegida al azar falle durante el primer año.** Para calcular la probabilidad de que una aspiradora falle sin conocer su origen, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(F) = P(A) \cdot P(F|A) + P(B) \cdot P(F|B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(F) = 0,6 \cdot 0,0015 + 0,4 \cdot 0,001$$ $$P(F) = 0,0009 + 0,0004 = 0,0013$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (fallar) puede ocurrir a través de varios caminos o causas (sede A o sede B). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F) = 0,0013}$$

**Tarea c, [1 punto]. Si una aspiradora elegida al azar no falla durante el primer año, calcula la probabilidad de que haya sido fabricada en la sede A.** Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori (conocemos el efecto y buscamos la causa), por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|\bar{F}) = \frac{P(A \cap \bar{F})}{P(\bar{F})}$$ Primero calculamos el denominador, $P(\bar{F})$, que es la probabilidad de que no falle: $$P(\bar{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0,0013 = 0,9987$$ Ahora calculamos el numerador, la probabilidad de que sea de la sede A y no falle: $$P(A \cap \bar{F}) = P(A) \cdot P(\bar{F}|A) = 0,6 \cdot (1 - 0,0015) = 0,6 \cdot 0,9985 = 0,5991$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(A|\bar{F}) = \frac{0,5991}{0,9987} \approx 0,599879$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(A|\bar{F}) \approx 0,5999$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{F}) \approx 0,5999}$$