Probabilidad de actividades extraescolares

**Tarea a, [1 punto]. Calcula la probabilidad de que un alumno se matricule en los dos deportes.** Primero, definimos los sucesos según el enunciado: - $A$: El alumno se matricula en atletismo. - $B$: El alumno se matricula en baloncesto. Datos conocidos: - $P(A) = 0,40$ - $P(B) = 0,65$ - No se matricula en ninguno: $P(A^c \cap B^c) = 0,10$ (donde el $10 \%$ se expresa en tanto por uno). Para visualizar mejor la situación, podemos construir una **tabla de contingencia**. Sabemos que $P(A^c \cap B^c) = 0,10$, y completamos el resto sabiendo que los totales deben sumar $1,00$: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B^c & \text{Total} \\\hline A & P(A \cap B) & P(A \cap B^c) & 0,40 \\ A^c & P(A^c \cap B) & 0,10 & 0,60 \\\hline \text{Total} & 0,65 & 0,35 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A^c) = 1 - P(A)$ y $P(B^c) = 1 - P(B)$.

Para hallar la probabilidad de que un alumno se matricule en los dos deportes, buscamos $P(A \cap B)$. Utilizamos las Leyes de De Morgan para relacionar el dato de los que no practican ninguno con la unión: $$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$$ $$0,10 = 1 - P(A \cup B) \implies P(A \cup B) = 0,90$$ Ahora aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores: $$0,90 = 0,40 + 0,65 - P(A \cap B)$$ $$0,90 = 1,05 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 1,05 - 0,90 = 0,15$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P(A \cap B) = 0,15}$$ 💡 **Tip:** El $P(A \cap B)$ representa a los alumnos que están en **ambas** actividades simultáneamente.

**Tarea b, [1,5 puntos]. Calcula las siguientes probabilidades: $P(A/B)$, $P(B/A)$ y $P(A/B^c)$, donde $B^c$ representa el suceso contrario a $B$.** Utilizaremos la definición de probabilidad condicionada: $P(X/Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$. 1. **Para $P(A/B)$:** $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,15}{0,65} = \frac{15}{65} = \frac{3}{13} \approx 0,2308$$ 2. **Para $P(B/A)$:** $$P(B/A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0,15}{0,40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} = 0,375$$ 💡 **Tip:** Aunque $P(A \cap B) = P(B \cap A)$, las probabilidades condicionadas suelen ser distintas porque el espacio muestral se reduce a sucesos diferentes ($B$ y $A$ respectivamente).

Para calcular $P(A/B^c)$, primero necesitamos hallar la probabilidad de la intersección $P(A \cap B^c)$. Sabemos que: $$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$$ $$0,40 = 0,15 + P(A \cap B^c) \implies P(A \cap B^c) = 0,25$$ También necesitamos $P(B^c)$: $$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0,65 = 0,35$$ Finalmente, calculamos la condicionada: $$P(A/B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{0,25}{0,35} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \approx 0,7143$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(A/B) = \frac{3}{13} \approx 0,2308; \quad P(B/A) = 0,375; \quad P(A/B^c) = \frac{5}{7} \approx 0,7143}$$