Geometría en el espacio: distancias y planos

**Tarea a, [1 punto]. Determina los puntos de $r$ que están a una distancia de $\sqrt{14}$ unidades de $P$.** Para trabajar con facilidad sobre la recta $r$, primero debemos obtener sus ecuaciones paramétricas. A partir de las ecuaciones implícitas: $$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ y - 2z = 1 \end{cases}$$ Podemos tomar $z$ como parámetro $\lambda$. De la segunda ecuación despejamos $y$: $$y = 1 + 2z = 1 + 2\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para despejar $x$: $$2x - (1 + 2\lambda) = 3 \implies 2x = 4 + 2\lambda \implies x = 2 + \lambda$$ Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ son: $$r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Cualquier punto genérico $Q$ de la recta tiene la forma $Q(2+\lambda, 1+2\lambda, \lambda)$. 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables y despejar las demás en función de esta.

Planteamos la condición de que la distancia entre el punto $P(1, 1, 1)$ y un punto genérico $Q \in r$ sea $\sqrt{14}$: $$d(P, Q) = \sqrt{(2+\lambda - 1)^2 + (1+2\lambda - 1)^2 + (\lambda - 1)^2} = \sqrt{14}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados y simplificamos los términos dentro de la raíz: $$(1+\lambda)^2 + (2\lambda)^2 + (\lambda - 1)^2 = 14$$ $$1 + 2\lambda + \lambda^2 + 4\lambda^2 + \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 14$$ $$6\lambda^2 + 2 = 14 \implies 6\lambda^2 = 12 \implies \lambda^2 = 2$$ Esto nos da dos posibles valores para el parámetro $\lambda$: $$\lambda_1 = \sqrt{2}, \quad \lambda_2 = -\sqrt{2}$$ Sustituimos estos valores en las coordenadas de $Q$ para obtener los dos puntos: - Para $\lambda_1 = \sqrt{2} \implies Q_1(2+\sqrt{2}, 1+2\sqrt{2}, \sqrt{2})$ - Para $\lambda_2 = -\sqrt{2} \implies Q_2(2-\sqrt{2}, 1-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q_1(2+\sqrt{2}, 1+2\sqrt{2}, \sqrt{2}) \text{ y } Q_2(2-\sqrt{2}, 1-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})}$$

**Tarea b, [0,75 puntos]. Obtén la ecuación del plano que contiene a $r$ y $P$.** Para determinar el plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y al punto $P$, necesitamos un punto del plano (usaremos $P$) y dos vectores directores no paralelos que pertenezcan al plano. De la recta $r$, extraemos un punto $A$ y su vector director $\vec{v}_r$: $$A(2, 1, 0), \quad \vec{v}_r = (1, 2, 1)$$ Un segundo vector director del plano será el vector $\vec{AP}$ que une el punto $A$ de la recta con el punto $P$: $$\vec{AP} = P - A = (1-2, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1)$$ Primero comprobamos si $P$ pertenece a la recta para asegurar que el plano sea único: $$2(1) - (1) = 1 \neq 3 \implies P \notin r$$ 💡 **Tip:** Si el punto perteneciera a la recta, habría infinitos planos que la contendrían (haz de planos).

Obtenemos el vector normal del plano $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de los dos vectores directores: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n} = [2\vec{i} + (-1)\vec{j} + 0\vec{k}] - [-2\vec{k} + 0\vec{i} + 1\vec{j}] = 2\vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k} = (2, -2, 2)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}' = (1, -1, 1)$. La ecuación del plano será de la forma $x - y + z + D = 0$. Imponemos que pase por $P(1, 1, 1)$: $$1 - 1 + 1 + D = 0 \implies D = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y + z - 1 = 0}$$

**Tarea c, [0,75 puntos]. Calcula la distancia entre $r$ y $P$.** La distancia de un punto $P$ a una recta $r$ viene dada por la fórmula: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{AP}|}{|\vec{v}_r|}$$ Ya hemos calculado en el apartado anterior el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{AP} = (2, -2, 2)$. Calculamos su módulo: $$|\vec{v}_r \times \vec{AP}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ Calculamos ahora el módulo del vector director de la recta $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(P, r) = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto a una recta representa la altura de un paralelogramo cuya base es el vector director de la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{2} \text{ u}}$$